Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Bài 33 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao


Tính

Đề bài

Tính \({\left( {\sqrt 3  - i} \right)^6};{\left( {{i \over {1 + i}}} \right)^{2004}};{\left( {{{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi các số phức về dạng lượng giác rồi tính toán.

Sử dụng công thức Moa-vrơ:

\(\begin{array}{l}
z = r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\\
\Rightarrow {z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)
\end{array}\)

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
\sqrt 3 - i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)\\
= 2\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)} \right)
\end{array}\)

\( \Rightarrow {\left( {\sqrt 3  - i} \right)^6} \) \(= {\left[ {2\left( {\cos \left( { - {\pi  \over 6}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 6}} \right)} \right)} \right]^6} \) \( = {2^6}\left[ {\cos \left( { - \pi } \right) + i\sin \left( { - \pi } \right)} \right] =  - {2^6}\)

\({i \over {i + 1}} = \frac{{i\left( {1 - i} \right)}}{{1 + 1}} = {{1 + i} \over 2}\) \( = \frac{1}{2}\left( {1 + i} \right) = \frac{1}{2}.\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right)\) \( = {1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow{\left( {{i \over {1 + i}}} \right)^{2004}} \cr &= {1 \over {{{(\sqrt 2)}^{2004}}}}\left( {\cos {{2004\pi } \over 4} + i\sin {{2004\pi } \over 4}} \right)  \cr  &  = {1 \over {{2^{1002}}}}\left( {\cos \pi  + i\sin \pi } \right) =  - {1 \over {{2^{1002}}}} \cr} \)

\({{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }} = {{\left( {5 + 3i\sqrt 3 } \right)\left( {1 + 2i\sqrt 3 } \right)} \over {1 + 12}}\) \( = {{ - 13 + 13i\sqrt 3 } \over {13}} =  - 1 + i\sqrt 3 \)

\( = 2\left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \) \(= 2\left( {\cos {{2\pi } \over 3} + i\sin {{2\pi } \over 3}} \right)\)

Do đó:

\({\left( {{{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}} = {2^{21}}\left( {\cos 14\pi  + i\sin 14\pi } \right) \) \(= {2^{21}}\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua