Bài 33 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao


Tính

Đề bài

Tính \({\left( {\sqrt 3  - i} \right)^6};{\left( {{i \over {1 + i}}} \right)^{2004}};{\left( {{{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi các số phức về dạng lượng giác rồi tính toán.

Sử dụng công thức Moa-vrơ:

\(\begin{array}{l}
z = r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\\
\Rightarrow {z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)
\end{array}\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
\sqrt 3 - i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)\\
= 2\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)} \right)
\end{array}\)

\( \Rightarrow {\left( {\sqrt 3  - i} \right)^6} \) \(= {\left[ {2\left( {\cos \left( { - {\pi  \over 6}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 6}} \right)} \right)} \right]^6} \) \( = {2^6}\left[ {\cos \left( { - \pi } \right) + i\sin \left( { - \pi } \right)} \right] =  - {2^6}\)

\({i \over {i + 1}} = \frac{{i\left( {1 - i} \right)}}{{1 + 1}} = {{1 + i} \over 2}\) \( = \frac{1}{2}\left( {1 + i} \right) = \frac{1}{2}.\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right)\) \( = {1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow{\left( {{i \over {1 + i}}} \right)^{2004}} \cr &= {1 \over {{{(\sqrt 2)}^{2004}}}}\left( {\cos {{2004\pi } \over 4} + i\sin {{2004\pi } \over 4}} \right)  \cr  &  = {1 \over {{2^{1002}}}}\left( {\cos \pi  + i\sin \pi } \right) =  - {1 \over {{2^{1002}}}} \cr} \)

\({{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }} = {{\left( {5 + 3i\sqrt 3 } \right)\left( {1 + 2i\sqrt 3 } \right)} \over {1 + 12}}\) \( = {{ - 13 + 13i\sqrt 3 } \over {13}} =  - 1 + i\sqrt 3 \)

\( = 2\left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \) \(= 2\left( {\cos {{2\pi } \over 3} + i\sin {{2\pi } \over 3}} \right)\)

Do đó:

\({\left( {{{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}} = {2^{21}}\left( {\cos 14\pi  + i\sin 14\pi } \right) \) \(= {2^{21}}\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài