Bài 30 trang 206 SGK giải tích 12 nâng cao


Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Gọi M, M’ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(z = 3 + i;\) \(z' = \left( {3 - \sqrt 3 } \right) + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i.\)

LG a

Tính \({{z'} \over z};\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức chia hai số phức:

\(\dfrac{{a + bi}}{{c + di}} = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{z'}}{z} = \frac{{3 - \sqrt 3  + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i}}{{3 + i}}\) \(= {{\left[ {3 - \sqrt 3  + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i} \right]\left( {3 - i} \right)} \over {3^2+1^2}}\) \( = \frac{{9 - 3\sqrt 3  + 1 + 3\sqrt 3  + \left( {3 + 9\sqrt 3  - 3 + \sqrt 3 } \right)i}}{{10}} \) \(= \frac{{10 + 10\sqrt 3 i}}{{10}}\) \( = 1 +  \sqrt 3 i\)

LG b

Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right)\). Tính số đo đó.

Phương pháp giải:

Dựng hình, suy ra kết luận từ hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

Xét tia Ox thì ta có: \(sđ\left( {OM,OM'} \right) \) \(= sđ\left( {Ox,OM'} \right) - sđ\left( {Ox,OM} \right)\) \( = \varphi ' - \varphi  = acgumen{{z'} \over z}\) (sai khác \(k2\pi \))

(trong đó \(\varphi \) và \(\varphi '\) theo thứ tự là acgumen của z và z’).

Từ đó do \({{z'} \over z} = 1 + \sqrt 3 i\) có acgumen là \({\pi  \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\), nên góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right)\) có số đo \({\pi  \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

Cách khác:

Từ (1) và (2) ta có:

cos(α'-α)=cos(OM,OM')

nên kí hiệu α'-α là một số đo của góc lượng giác (OM, OM’) và số đo là \(\alpha ' - \alpha  = \frac{\pi }{3} + k2\pi \).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài