Bài 28 trang 205 SGK Giải tích 12 Nâng cao


Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

LG a

\(\eqalign{1 - i\sqrt 3 ;1 + i;(1 - i\sqrt 3 )(1 + i);{{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức nhân chia dạng lượng giác của số phức:

\(\begin{array}{l}
{z_1} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)\\
{z_2} = {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)\\
\Rightarrow {z_1}{z_2} = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]\\
\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{&1 - i\sqrt 3 = 2\left( {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \cr &= 2\left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right);\cr 
& 1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr & = \sqrt 2 \left( {\cos \left( {{\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4}} \right)} \right);\, \cr 
& (1 - i\sqrt 3 )(1 + i) \cr & = 2\sqrt 2 \left( {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr 
& = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right)\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right) \cr 
&= 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right)} \right] \cr 
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {\pi \over {12}}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over {12}}} \right)} \right];\,\, \cr 
& {{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}} \cr & = \frac{{2\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)}}\cr &=\frac{2}{{\sqrt 2 }} \left[ {\cos \left( { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr 
& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {7 \over {12}}\pi } \right) + i\sin \left( { - {7 \over {12}}\pi } \right)} \right]; \cr} \)

LG b

\(\eqalign{2i\left( {\sqrt 3 - i} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& 2i =2\left( {0 + i} \right)= 2\left( {\cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}} \right) \cr 
&  {\sqrt 3 - i}  = 2\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}i} \right) \cr &= 2\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)} \right]; \cr 
& 2i\left( {\sqrt 3 - i} \right) \cr &= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right)} \right] \cr 
& = 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 3}} \right)} \right] } \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
2i\left( {\sqrt 3 - i} \right) = 2i\sqrt 3 - 2{i^2}\\
= 2\sqrt 3 i + 2 = 4\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\\
= 4\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)
\end{array}\)

LG c

\(\eqalign{{1 \over {2 + 2i}}} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& 2 + 2i = 2\sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr &= 2\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\, \cr 
& \Rightarrow {1 \over {2 + 2i}} \cr &= {1 \over {2\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr} \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{2 + 2i}} = \frac{{2 - 2i}}{{{2^2} + {2^2}}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\\
= \frac{1}{4}\left( {1 - i} \right)\\
= \frac{1}{4}.\sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)\\
= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right)
\end{array}\)

LG d

\(\eqalign{z = \sin \varphi + i\cos \varphi \,(\varphi \in\mathbb R)}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& z = \,\sin \varphi + i\cos \varphi \cr & =\cos \left( {{\pi \over 2} - \varphi } \right) + i\sin\left( {{\pi \over 2} - \varphi } \right)\cr &(\varphi \in \mathbb R) \cr} \)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài