Bài 28 trang 205 SGK Giải tích 12 Nâng cao


Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

LG a

\(\eqalign{1 - i\sqrt 3 ;1 + i;(1 - i\sqrt 3 )(1 + i);{{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức nhân chia dạng lượng giác của số phức:

\(\begin{array}{l}
{z_1} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)\\
{z_2} = {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)\\
\Rightarrow {z_1}{z_2} = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]\\
\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{&1 - i\sqrt 3 = 2\left( {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \cr &= 2\left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right);\cr 
& 1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr & = \sqrt 2 \left( {\cos \left( {{\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4}} \right)} \right);\, \cr 
& (1 - i\sqrt 3 )(1 + i) \cr & = 2\sqrt 2 \left( {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr 
& = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right)\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right) \cr 
&= 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right)} \right] \cr 
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {\pi \over {12}}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over {12}}} \right)} \right];\,\, \cr 
& {{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}} \cr & = \frac{{2\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)}}\cr &=\frac{2}{{\sqrt 2 }} \left[ {\cos \left( { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr 
& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {7 \over {12}}\pi } \right) + i\sin \left( { - {7 \over {12}}\pi } \right)} \right]; \cr} \)

LG b

\(\eqalign{2i\left( {\sqrt 3 - i} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& 2i =2\left( {0 + i} \right)= 2\left( {\cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}} \right) \cr 
&  {\sqrt 3 - i}  = 2\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}i} \right) \cr &= 2\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)} \right]; \cr 
& 2i\left( {\sqrt 3 - i} \right) \cr &= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right)} \right] \cr 
& = 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 3}} \right)} \right] } \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
2i\left( {\sqrt 3 - i} \right) = 2i\sqrt 3 - 2{i^2}\\
= 2\sqrt 3 i + 2 = 4\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\\
= 4\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)
\end{array}\)

LG c

\(\eqalign{{1 \over {2 + 2i}}} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& 2 + 2i = 2\sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr &= 2\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\, \cr 
& \Rightarrow {1 \over {2 + 2i}} \cr &= {1 \over {2\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr} \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{2 + 2i}} = \frac{{2 - 2i}}{{{2^2} + {2^2}}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\\
= \frac{1}{4}\left( {1 - i} \right)\\
= \frac{1}{4}.\sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)\\
= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right)
\end{array}\)

LG d

\(\eqalign{z = \sin \varphi + i\cos \varphi \,(\varphi \in\mathbb R)}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& z = \,\sin \varphi + i\cos \varphi \cr & =\cos \left( {{\pi \over 2} - \varphi } \right) + i\sin\left( {{\pi \over 2} - \varphi } \right)\cr &(\varphi \in \mathbb R) \cr} \)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài