Bài 29 trang 206 SGK Giải tích 12 nâng cao


Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

Đề bài

Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {1 + i} \right)^{19}}\) và công thức Moa-vrơ để tính 

\(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Công thức nhị thức Newton:

\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... \) \(+ C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^n{b^n}\)

Công thức Moa-vro:

\(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right) \) \(\Rightarrow {z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi  + i\sin n\varphi } \right)\)

Chú ý:

\( \begin{array}{l}
{i^{4k}} = 1,{i^{4k + 2}} = - 1\\
{i^{4k + 1}} = i,{i^{4k + 3}} = - i
\end{array}\)

Lời giải chi tiết

Theo nhị thức Niu-tơn ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {1 + i} \right)^{19}}\\
= C_{19}^0 + C_{19}^1i  + ... + C_{19}^{18}{i^{18}} + C_{19}^{19}{i^{19}}\\
= \left( {C_{19}^0 + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^4{i^4} + ... + C_{19}^{18}{i^{18}}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1i + C_{19}^3{i^3} + C_{19}^5{i^5} + ... + C_{19}^{19}{i^{19}}} \right)\\
= \left( {C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... - C_{19}^{18}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1i - C_{19}^3i + C_{19}^5i - ... - C_{19}^{19}i} \right)\\
= \left( {C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... - C_{19}^{18}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1 - C_{19}^3 + C_{19}^5 - ... - C_{19}^{19}} \right)i
\end{array}\)

Phần thực ở vế phải là: \(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\)

Mặt khác:

\(\eqalign{
& {\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)} \right]^{19}} \cr &= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos {{19\pi } \over 4} + i\sin {{19\pi } \over 4}} \right) \cr 
&  = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)\cr &= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( { - {{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) \cr &= - {2^9} + {2^9}i \cr 
& \Rightarrow C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18} \cr &=- {2^9} = - 512. \cr} \)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 4 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài