Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Ôn tập chương III - Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài 1 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho bốn điểm . a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng. b) Tính thể tích tứ diện ABCD. c) Viết phương trình mp(BCD). d) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho bốn điểm \(A\left( {1;6;2} \right),\,B\left( {4;0;6} \right)\,,\) \(C\left( {5;0;4} \right)\,,\,D\left( {5;1;3} \right)\).

LG a

Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 6;4} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 6;2} \right);\) \(\overrightarrow {AD}  = \left( {4; - 5;1} \right)\).

\(\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cr &= \left( {\left| \matrix{
- 6\,\,\,\,\,4 \hfill \cr 
- 6\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr 
2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3\,\,\,\, - 6 \hfill \cr 
4\,\,\,\, - 6 \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = \left( {12;10;6} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \cr & = 12.4 - 5.10 + 6.1 = 4 \ne 0. \cr} \)

Vậy A, B, C, D không đồng phẳng nên ABCD là hình tứ diện.

LG b

Tính thể tích tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Thể tích hình tứ diện ABCD là \({V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| \) \(= {4 \over 6} = {2 \over 3}\).

LG c

Viết phương trình mp(BCD).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;0; - 2} \right);\overrightarrow {BD}  = \left( {1;1; - 3} \right)\)

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 2 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {2;1;1} \right).\)

Mp(BCD) qua B(4; 0; 6) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) nên có phương trình:
\(2\left( {x - 4} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - 6} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 14 = 0\).

LG d

Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD) có bán kính 
\(R = d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) \) \( = {{\left| {2.1 + 1.6 + 1.2 - 14} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = {4 \over {\sqrt 6 }} = {{2\sqrt 6 } \over 3}\).
Phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {8 \over 3}\).
Gọi H là tiếp điểm thì AH là đường thẳng đi qua A vuông góc với mp(BCD) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\).

Vậy AH có phương trình tham số:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = 6 + t \hfill \cr 
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\).

Thay x, y, z vào phương trình mp(BCD) ta được:

\(2\left( {1 + 2t} \right) + 6 + t + 2 + t - 14 = 0\) \( \Rightarrow t = {2 \over 3}\). Vậy \(H\left( {{7 \over 3};{{20} \over 3};{8 \over 3}} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 4 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 2 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai điểm và mặt phẳng (P): . a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P). b) Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P). c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P). d) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.

  • Bài 3 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình: . a) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P) b) Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz. c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).

  • Bài 4 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho điểm A(2; 3; 1) và hai đường thẳng: a) Viết phương trình mp(P) đi qua A và . b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A và . c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả và . d) Tính khoảng cách từ A đến .

  • Bài 5 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng: và . a) Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng. b) Tìm khoảng cách giữa d và d’. c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’. d) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.

  • Bài 6 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng và . a) Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng. b) Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store