Bài 2.15 trang 60 SBT hình học 12

Giải bài 2.15 trang 60 SBT hình học 12. Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’, M, M’, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’

Đề bài

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(\Delta \) và \(\Delta '\) có AA’ là đoạn vuông góc chung, trong đó \(A \in \Delta \) và \(A' \in \Delta '\). Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với \(\Delta '\) và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng \((\alpha )\) lần lượt cắt \(\Delta \) và \(\Delta '\) tại M và M’. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng \((\alpha )\) là M₁.

a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M₁. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc \(\varphi = (\Delta ,\Delta ')\)

b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh ba điểm \(A,M',{M_1}\) cùng nhìn A'M một góc \(90^0\).

Tình bán kính và suy ra diện tích theo công thức \(S = 4\pi {R^2}\).

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết ta có: \(\displaystyle \widehat {A'M'M} = \widehat {A'AM} = \widehat {A'{M_1}M} = {90^0}\)

Do đó 5 điểm A, A’, M, M’ ,M₁ cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính \(\displaystyle r = {{A'M} \over 2}\)

Mặt khác ta có A’M² = A’A² + AM², trong đó \(\displaystyle \cos \varphi = {{M{M_1}} \over {AM}}\) nên \(\displaystyle AM = {{M{M_1}} \over {\cos \varphi }} = {x \over {\cos \varphi }}\)

Do đó \(\displaystyle A'{M^2} = {a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}\)

\(\displaystyle \Rightarrow A'M = \sqrt {{{{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}} = {1 \over {\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \)

Mặt cầu tâm O có bán kính \(\displaystyle r = {{A'M} \over 2} = {1 \over {2\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \)

Diện tích của mặt cầu tâm O là: \(\displaystyle S = 4\pi {r^2} = \pi {(2r)^2} = \pi {(A'M)^2} = \pi ({a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }})\)

b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // \(\displaystyle \Delta \) nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với \(\displaystyle \Delta \).

Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’.

Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.7 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 2.16 trang 60 SBT hình học 12
Giải bài 2.16 trang 60 sách bài tập hình học 12. Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
Bài 2.17 trang 61 SBT hình học 12
Giải bài 2.17 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi a là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h (0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C).
Bài 2.18 trang 61 SBT hình học 12
Giải bài 2.18 trang 61 SBT hình học 12. Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều , có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.
Bài 2.19 trang 61 SBT hình học 12
Giải bài 2.19 trang 61 sách bài tập hình học 12. Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Bài 2.20 trang 61 SBT hình học 12
Giải bài 2.20 trang 61 sách bài tập hình học 12. Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.
Bài 2.21 trang 61 SBT hình học 12
Giải bài 2.21 trang 61 sách bài tập hình học 12. Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE
Bài 2.22 trang 61 SBT hình học 12
Giải bài 2.22 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và bằng 30^0.
Bài 2.23 trang 61 SBT hình học 12
Giải bài 2.23 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho. Mặt phẳng qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).
Bài 2.14 trang 60 SBT hình học 12
Giải bài 2.14 trang 60 sách bài tập hình học 12. Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.
Bài 2.13 trang 60 SBT hình học 12
Giải bài 2.13 trang 60 sách bài tập hình học 12. Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.