Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 1. Số phức

Bài 8 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao


Chứng minh rằng: a)) Nếu vec tơ ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng:

LG a

Nếu vec tơ \(\overrightarrow u \) của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\), và từ đó nếu các điểm \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|;\)

Phương pháp giải:

Độ dài véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Mô đun số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Nếu \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\overrightarrow u \) biểu diễn số phức z thì \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) và \(|\overrightarrow u | = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Do đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\).

Gọi A1 là điểm biểu diễn số phức z1=a1+b1 i=>A1 (a1;b1)

A2 là điểm biểu diễn số phức z2=a2+b2 i=>A2 (a2;b2)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = \left( {{a_2} - {a_1};{b_2} - {b_1}} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \sqrt {{{\left( {{a_2} - {a_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_2} - {b_1}} \right)}^2}} \\{z_2} - {z_1} = \left( {{a_2} + {b_2}i} \right) - \left( {{a_1} + {b_1}i} \right)\\ = \left( {{a_2} - {a_1}} \right) + \left( {{b_2} - {b_1}} \right)i\\ \Rightarrow \left| {{z_2} - {z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( {{a_2} - {a_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_2} - {b_1}} \right)}^2}} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {{z_2} - {z_1}} \right|\end{array}\)

LG b

Với mọi số phức z, z', ta có \(\left| {zz'} \right| = \left| z \right|\left| {z'} \right|\) và khi \(z \ne 0\) thì \(\left| {{{z'} \over z}} \right| = {{|z'|} \over {|z|}};\)

Lời giải chi tiết:

\(z=a+bi;\;z'=a'+b'i\) thì \(|z{|^2} = {a^2} + {b^2};|z'{|^2} = a{'^2} + b{'^2}\) và \(z.z' = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i\) nên 

\(\eqalign{
& |z.z'{|^2} = {(aa' - bb')^2} + {(ab' + a'b)^2} \cr & = \left( {aa'} \right) + {\left( {bb'} \right)^2} - 2aa'bb' \cr & + {\left( {ab'} \right)^2} + {\left( {a'b} \right)^2} + 2ab'a'b\cr &= {(aa')^2} + {(bb')^2} + {(ab')^2} + {(a'b)^2} \cr 
&|z{|^2}.|z'{|^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{'^2} + b{'^2}} \right)\cr 
& = {a^2}a{'^2} + {a^2}b{'^2} + a{'^2}{b^2} + {b^2}b{'^2}\cr & = {(aa')^2} + {(bb')^2} + {(ab')^2} + {(a'b)^2} \cr 
& \Rightarrow |zz'|^2 = |z|^2.|z'|^2\cr &\Rightarrow |zz'| = |z|.|z'| \cr} \)

Khi \(z \ne 0\) ta có:

\(\left| {{{z'} \over z}} \right| \) \(= \left| {{{z'\overline z } \over {|z{|^2}}}} \right| \) \(= {1 \over {|z{|^2}}}|z'.\overline z | \) \(= {1 \over {|z{|^2}}}.\left| {z'} \right|.\left| {\overline z } \right| \) \(= {1 \over {|z{|^2}}}.|z'|.|z| \) \( = {{|z'|} \over {|z|}}\)

LG c

Với mọi số phức z, z', ta có \(|z + z'| \le |z| + |z'|.\)

Phương pháp giải:

Đưa về véc tơ biểu diễn số phức và áp dụng bất đẳng thức véc tơ suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(\overrightarrow u \) biểu diễn z và \(\overrightarrow {u'} \) biểu diễn z' thì \(\overrightarrow u+\overrightarrow {u'} \) biểu diễn z+z'. Ta có:

\(\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z + z'} \right|;\,\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|;\) \(\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z'} \right|\)

Mà \(\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow {u'} } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow {u'} } \right|\) nên \(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)

Dấu "=" xảy ra khi \(z=0\) hoặc \(z'=0\).

Cách khác:

Với mọi số phức z, z’, ta có: z + z’ = (a +a’) + (b +b’)i

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {z + z'} \right| = \sqrt {{{\left( {a + a'} \right)}^2} + {{\left( {b + b'} \right)}^2}} \\\left| z \right| + \left| {z'} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} \end{array}\)

Theo yêu cầu bài toán ta cần chứng minh:

Theo Bu-nhi-cốp-xki ta có bất đẳng thức (*) đúng với ∀a,b,a',b'∈R nên |z+z'| ≤ |z|+|z'| (đpcm)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store