Bài 7 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho hình trụ có bán kính R và đường cao . Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD. a) Chứng minh ABCD là tứ diện đều. b) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định (tức là khoảng cách giữa mỗi đường thẳng đó và trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ).

Đề bài

Cho hình trụ có bán kính R và đường cao \(R\sqrt 2 \). Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD.
a) Chứng minh ABCD là tứ diện đều.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định (tức là khoảng cách giữa mỗi đường thẳng đó và trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ).

Lời giải chi tiết

a) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng chứa đường tròn đáy có đường kính CD, khi đó A’, B’ nằm trên đường tròn đáy.

Ta có: \(A'B' \bot CD\) nên A’CB’D là hình vuông có đường chéo CD = 2R nên \(A'C = R\sqrt 2 ,\) mà \(AA' = R\sqrt 2 \) nên ta suy ra AC = 2R.

Tương tự AD = BC = BD = 2R. Vậy ABCD là tứ diện đều.

Cách khác:

Vì AB CD nên ta chứng minh được ΔDBC cân tại B, suy ra BD = BC, tương tự ta có: AC=AD=BD=BC

Trong tam giác vuông OO’C có: BC2=O'B2+O'C2

Trong tam giác vuông O’OB có: O'B2=O'O2+OB2

Vậy BC2=O'O2+OB2+O'C2

= (R√2 )2+R2+R2=4R2

BC = 2R.

vậy tứ diện ABCD có 6 cạnh bằng nhau và bằng 2R nên nó là tứ diện đều. (đpcm)

b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai đường tròn đáy.
Ta có \(d\left( {OO',AC} \right) = d\left( {OO',\left( {AA'C} \right)} \right) = O'H\) (với H là trung điểm của A’C).

Vậy \(d = O'H = {{R\sqrt 2 } \over 2}.\)
Tương tự khoảng cách giữa mỗi đường thẳng BC, BD và OO’ đều bằng \({{R\sqrt 2 } \over 2}\).

Vậy các cạnh AC, AD, BC, BD đều tiếp xúc với mặt trụ có trục OO’ và bán kính \({{R\sqrt 2 } \over 2}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - I. Bài tập tự luận

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài