Bài 65 trang 58 sách giải tích 12 nâng cao


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Với các giá trị nào t=của m đường thẳng y = m – x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hao điểm phân biệt? c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Sự biến thiên:

\(\eqalign{
& y'  = \frac{{\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2{x^2} - 4x} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr 
& y' = 0  \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x = 0\cr& \Leftrightarrow 2x\left( {x - 2} \right) = 0\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((2; + \infty )\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;1)\) và \((1;2)\)

Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{CĐ}=1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{CT}=7\)

Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }}  =  - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }}  =  + \infty \)

Tiệm cận đứng là: \(x=1\)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{2{x^2} - x + 1} \over {{x^2} - x}} = 2 \cr 
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - 2x) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} - 2x} \right) = 1 \cr} \)

Tiệm cận xiên là: \(y=2x+1\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị cắt \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)

LG b

Với các giá trị nào của m đường thẳng \(y = m – x\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt?

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình

\(\eqalign{
& {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} = m - 1\cr& \Rightarrow 2{x^2} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {m - x} \right) \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 =  - {x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m\cr&  \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
f\left( 1 \right) \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m + 2} \right)^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0\\
{3.1^2} - \left( {m + 2} \right).1 + m + 1 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 8m - 8 > 0\\
2 \ne 0\left( {\text{đúng}} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow m < 4 - 2\sqrt 6 \,\,\text{hoặc}\,\,m > 4 + 2\sqrt {6\,\,} \,\left( 2 \right)\)

LG c

Gọi \(A\) và \(B\) là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi \(m\) biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm \(A, B\) là các nghiệm của (1)

Hoành độ trung điểm \(M\) của \(AB\) là: \({x_M} = {1 \over 2}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) = {{m + 2} \over 6}\)

Vì M nằm trên đường thẳng y = m – x nên \({y_M} = m - {x_M} = m - {{m + 2} \over 6} = {{5m - 2} \over 6}\)

Khử \(m\) từ hệ 

\(\left\{ \matrix{
{x_M} = {{m + 2} \over 6} \hfill \cr 
{y_M} = {{5m - 2} \over 6} \hfill \cr} \right.\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
6{x_M} = m + 2\\
6{y_M} = 5m - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
6{y_M} = 5.\left( {6{x_M} - 2} \right) - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
6{y_M} = 30{x_M} - 12
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
{y_M} = 5{x_M} - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(M\) nằm trên đường thẳng \(y = 5x -2\)

Vì \(m\) chỉ lấy giá trị thỏa mãn (2) nên: 

\(m < 4 - 2\sqrt 6  \) \(\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 < 4 - 2\sqrt 6  \) \( \Leftrightarrow 6{x_M} < 6 - 2\sqrt 6 \) \(\Rightarrow {x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\)

\(m > 4 + 2\sqrt 6  \) \(\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 > 4 + 2\sqrt 6  \) \( \Leftrightarrow 6{x_M} > 6 + 2\sqrt 6 \) \(\Rightarrow {x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\)

Vậy tập hợp các trung điểm \(M\) của đoạn \(AB\) là phần của đường thẳng \(y = 5x -2\) với \({x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\) hoặc \({x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 4 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài