Bài 61 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao


Đề bài

Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu \({v_o} > 0\) từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ \(O\), nghiêng một góc  \(\alpha \) với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng \(Oxy\) và tạo với trục hoành \(Ox\) góc \(\alpha \) ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.

\(\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y =  - {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \) ( \(g\) là gia tốc trọng trường).

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha  \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right),\,\left( {{\gamma _\alpha }} \right)\) luôn tiếp xúc với parabol \((P)\) có phương trình là: \(y =  - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\) và tìm tọa độ tiếp điểm \((P)\) được gọi là parabol an toàn).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hai đường cong f(x) và g(x) tiếp xúc nhau nếu hệ sau có nghiệm: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = g\left( x \right)\\
f'\left( x \right) = g'\left( x \right)
\end{array} \right.\)

Nghiệm của hệ trên chính là hoành độ tiếp điểm.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(y =  - {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha\)

\( \Rightarrow y' =- {g \over {v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha   \)

\(y =  - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\)

\(\Rightarrow y'= - {g \over {v_o^2}}x\)

Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
- {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}} \hfill \cr 
- {g \over {v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha = - {g \over {v_o^2}}x \hfill \cr} \right.\)

Xét phương trình thứ hai trong hệ:

\(\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow - \frac{g}{{v_0^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha + \frac{g}{{v_0^2}}x = 0\\
\Leftrightarrow \frac{g}{{v_0^2}}x\left( { - 1 - {{\tan }^2}\alpha + 1} \right) + \tan \alpha = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{ - g{{\tan }^2}\alpha }}{{v_0^2}}x = - \tan \alpha \\
\Leftrightarrow x = \left( { - \tan \alpha } \right):\frac{{ - g{{\tan }^2}\alpha }}{{v_0^2}}\\
\Leftrightarrow x = \frac{{v_0^2}}{{g\tan \alpha }}
\end{array}\)

Thay \(x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\) và pt thứ nhất trong hệ ta thấy thỏa mãn.

Vậy với mọi \(\alpha  \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) hai parabol luôn tiếp xúc với nhau.

Hoành độ tiếp điểm là \(x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\). Tung độ của tiếp điểm là

\(y =  - {g \over {2v_o^2}}{\left( {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}} \right)^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\) \( = {{v_o^2} \over {2g}}\left( {1 - {1 \over {{{\tan }^2}\alpha }}} \right)={{v_o^2} \over {2g}}{\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)} \)

Điểm \(\left( {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }};{{v_o^2} \over {2g}}\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)} \right)\) là tiếp điểm của hai parabol với mọi \(\alpha  \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu
  • Bài 62 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

    a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.

  • Bài 63 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

    a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: b) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên. c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

  • Bài 64 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a)Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0;0) có hệ số bằng -3. b)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.

  • Bài 65 trang 58 sách giải tích 12 nâng cao

    a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Với các giá trị nào t=của m đường thẳng y = m – x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hao điểm phân biệt? c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.

  • Bài 66 trang 58 SGK giải tích 12 nâng cao

    Tìm các hệ số a, b sao cho parabol tiếp xúc với hypebol tại điểm

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.