Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Bài 63 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: b) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên. c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((H)\) của hàm số: \(y = {{x + 2} \over {2x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\)

+) Sự biến thiên:

\(y' = {{ - 3} \over {{{(2x + 1)}^2}}} < 0\,\forall x \in D\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  - {{{1 \over 2}}^ - }}  =  - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to  - {{{1 \over 2}}^ + }}  =  + \infty \)

Hầm số không có cực trị.

Tiệm cận đứng: \(x={ - {1 \over 2}}\)

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  = {1 \over 2}\)

Tiệm cận ngang \(y={1 \over 2}\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao \(Ox\) tại điểm \((-2;0)\)

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;2)\)

LG b

Chứng minh rằng đường thẳng \(y = mx + m - 1\) luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y = mx + m - 1 \) \(\Leftrightarrow y + 1 = m\left( {x + 1} \right)\)

Tọa độ điểm cố định \(A\) của đường thẳng là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{
x + 1 = 0 \hfill \cr 
y + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(A(-1;-1)\)

Thay tọa độ của A vào công thức hàm số ta thấy: \( - 1 = \frac{{ - 1 + 2}}{{2.\left( { - 1} \right) + 1}}\) (đúng) nên \(A\) thuộc đường cong \((H)\).

Cách khác:

Gọi điểm cố định mà đường thẳng y = mx+m-1 luôn đi qua là I.

Ta có \(I\left( {{x_0};\frac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 1}}} \right) \in \left( H \right)\) thay vào phương trình y=mx+m-1 được:

Để phương trình (*) luôn đúng với mọi m khi và chỉ khi:

Vậy đường thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua 1 điểm cố định I(-1; -1) của đường cong (H) khi m biến thiên.

LG c

Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong \((H)\) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong \((H)\) là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& m\left( {x + 1} \right) - 1 = {{x + 2} \over {2x + 1}}\cr & \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left[ {m\left( {x + 1} \right) - 1} \right] = x + 2 \cr 
& \Leftrightarrow m\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x + 1} \right) = x + 2 \cr 
&  \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2mx + m} \right) - 3x - 3 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2mx + m} \right) - 3\left( {x + 1} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2mx + m - 3} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
f\left( x \right) = 2mx + m - 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hai nhánh của \((H)\) nằm về hai bên của tiệm cận đứng \(x =  - {1 \over 2}\)

Điểm \(A(-1;-1)\) thuộc nhánh trái của \((H)\) vì \({x_A} =  - 1 <  - {1 \over 2}\)

Đường thẳng cắt \((H)\) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi (1) có nghiệm \(x <  - {1 \over 2}\) và \(x \ne  - 1\) tức

\(\left\{ \matrix{
2m \ne 0 \hfill \cr 
x = {{ - m + 3} \over {2m}} < - {1 \over 2} \hfill \cr 
f\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m \ne 0 \hfill \cr 
- {1 \over 2}+{3 \over {2m}} < - {1 \over 2}  \hfill \cr 
- m - 3 \ne 0 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\frac{3}{{2m}} < 0\\
- m \ne 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
m < 0\\
m \ne - 3
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow m < - 3\,\, \text{hoặc}\, - 3 < m < 0.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.1 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 64 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a)Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0;0) có hệ số bằng -3. b)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.

  • Bài 65 trang 58 sách giải tích 12 nâng cao

    a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Với các giá trị nào t=của m đường thẳng y = m – x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hao điểm phân biệt? c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.

  • Bài 66 trang 58 SGK giải tích 12 nâng cao

    Tìm các hệ số a, b sao cho parabol tiếp xúc với hypebol tại điểm

  • Bài 67 trang 58 SGK giải tích 12 nâng cao

    Giải bài 67 trang 58 sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao. Một tạp chí với giá 20 nghìn đồng muột cuốn....

  • Bài 62 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

    a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store