Bài 58 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Với các giá nào của m, đường thẳng đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho: •Tại hai điểm phân biệt? •Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2x - 1} \over {x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(y' = {3 \over {{{(x + 1)}^2}}}>0\,\,\forall x\in D\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1; + \infty )\)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2\) 

Tiệm cận đứng \(y=2\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr} \)

Tiệm cận đứng: \(x=-1\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao \(Ox\) tại điểm \(\left( {{1 \over 2};0} \right)\)

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)

Đồ thị hàm số nhận điểm I(-1;2) làm tâm đối xứng. 

LG b

Với các giá trị nào của \(m\), đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) đi qua điểm \(A(-2;2)\) và có hệ số góc \(m\) cắt đồ thị của hàm số đã cho:
• Tại hai điểm phân biệt?
• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) qua điểm \(A(-2;2)\) có hệ số góc \(m\) là:

\(y - 2 = m\left( {x + 2} \right)\) hay \(y = mx + 2m + 2\)

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

\(\eqalign{
& mx + 2m + 2 = {{2x - 1} \over {x + 1}} \cr 
& \Rightarrow \left( {mx + 2m + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 2x - 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr 
& \Leftrightarrow  m{x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

• Đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((2)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\), tức là

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta > 0\\
f\left( { - 1} \right) \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
9{m^2} - 4m\left( {2m + 3} \right) > 0\\
m.{\left( { - 1} \right)^2} + 3m.\left( { - 1} \right) + 2m + 3 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} - 12m > 0\\
3 \ne 0\left( {\text{đúng}} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 12\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 12\\
m < 0
\end{array} \right.(*)
\end{array}\)

• Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng \(x = -1\) của đồ thị.

\(\Leftrightarrow\) Đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó

\(\Leftrightarrow\) (1) có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} <  - 1 < {x_2}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1\cr&\Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0 \cr&\Leftrightarrow {{2m + 3} \over m} - {{3m} \over m} + 1 < 0 (\text{  Vi-et   })\cr 
& \Leftrightarrow {3 \over m} < 0 \cr} \)

Kết hợp với (*) được \(m < 0\)

Vậy với \(m < 0\) thì \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.

Cách khác:

\(\Leftrightarrow\) (1) có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} <  - 1 < {x_2}\)

af(-1)<0

m(m(-1)2+3m(-1)+2m+3)<0

3m<0 m < 0

Vậy với m (-∞;0) thì đường thẳng (dm) sẽ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt 2 nhánh đồ thị.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài