Bài 59 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao


Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số: tiếp xúc với nhau tại điểm A(-1;2) (tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại A).

Đề bài

Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số: \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 3x + 6\); \(g\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 4\) và \(h\left( x \right) = {x^2} + 7x + 8\) tiếp xúc với nhau tại điểm \(A(-1;2)\) (tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại \(A\)).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = g\left( { - 1} \right) = h\left( { - 1} \right) = 2\)

Do đó điểm \(A(-1;2)\) là điểm chung của ba đường cong đã cho. Ngoài ra, ta có:

\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = - 2x + 3;\,g'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x;\cr&h'\left( x \right) = 2x + 7 \cr 
& f'\left( { - 1} \right)=-2.(-1)+3=5 \cr& g'\left( { - 1} \right) =3.(-1)^2-2.(-1)=5\cr& h'\left( { - 1} \right) = 2.(-1)+7=5 \cr} \)

Do đó ba đường cong cùng đi qua A và có hệ số góc của tiếp tuyến tại A bằng nhau.

Vậy ba đường cong có tiếp tuyến chung điểm \(A\) nên chúng tiếp xúc tại A.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài