Bài 65 trang 112 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 65 trang 112 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho elip \((E)\) có phương trình \( \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).

LG a

Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; tính tâm sai và vẽ elip \((E)\).

Lời giải chi tiết:

\({a^2} = 9 \Rightarrow a = 3 ,\) \( {b^2} = 4 \Rightarrow b = 2 ,\) \( {c^2} = {a^2} - {b^2} = 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 \).

Các tiêu điểm : \({F_1}( - \sqrt 5 ; 0) ,{F_2}(\sqrt 5 ; 0) \).

Các đỉnh: \(( \pm 3 ; 0) , (0 ; \pm 2)\).

Tâm sai : \(e = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Elip được vẽ như hình 112.

LG b

Xác định m để đường thẳng \(d: y=x+m\) và \((E)\) có điểm chung

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của \(d\) và \((E)\) là nghiệm của phương trình:

\( \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{{(x + m)}^2}}}{4} = 1\)

\( \Leftrightarrow 13{x^2} + 18mx + 9{m^2} - 36 = 0 \,\,\,\,\,\,\, (1)\)

\(D\) và \((E)\) có điểm chung khi và chỉ khi (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 81{m^2} - 13(9{m^2} - 36) \ge 0 \)

\( \Leftrightarrow {m^2} \le 13 \Leftrightarrow - \sqrt {13} \le m \le \sqrt {13} \).

Vậy với \( - \sqrt {13} \le m \le \sqrt {13} \) thì \(d\) và \((E)\) có điểm chung.

LG c

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M(1 ; 1)\) và cắt \((E)\) tại hai điểm \(A, B\) sao cho \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

Lời giải chi tiết:

(h.112). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua M, với vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (a ; b)\) có dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = 1 + bt\end{array} \right. \,\,\,\,\,({a^2} + {b^2} \ne 0)\)

\(A, B \in \Delta \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 1 + a{t_1}\\{y_A} = 1 + b{t_1}\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1 + a{t_2}\\{y_B} = 1 + b{t_2}\end{array} \right.\).

\(M\) là trung điểm của \(AB\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a({t_1} + {t_2}) = 0\\b({t_1} + {t_2}) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} = 0 (1) \) (do \({a^2} + {b^2} \ne 0\)).

\(A, B \in (E)\) suy ra \({t_1}, {t_2}\) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}4{(at + 1)^2} + 9{(bt + 1)^2} = 36 \\ \Leftrightarrow (4 {a^2} + 9{b^2}){t^2} + (8a + 18b)t - 23 = 0.\\{t_1} + {t_2} = 0 \\ \Rightarrow 8a + 18b = 0 \\ \Leftrightarrow 4a + 9b = 0.\end{array}\)

Chọn \(a=9, b=-4,\) ta được phương trình của \(\Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 9t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\) hay \(4x + 9y - 13 = 0\).

Loigiaihay.com