Bài 63 trang 111 SBT Hình học 10 Nâng cao


Đề bài

Tìm những điểm trên elip \((E):  \dfrac{{{x^2}}}{9} + {y^2} = 1\) thỏa mãn

a) Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm phải.

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

c)  Nhìn hai tiêu điểm dưới góc \(60^0\).

Lời giải chi tiết

\({a^2} = 9   \Rightarrow   a = 3 ;\) \(  {b^2} = 1   \Rightarrow   b = 1 ; \) \( {c^2} = {a^2} - {b^2} = 8   \Rightarrow    c = 2\sqrt 2 \).

Elip \((E)\) có các tiêu điểm: \({F_1}( - 2\sqrt 2  ; 0) ,  {F_2}(2\sqrt 2  ; 0)\).

a) Gọi \(M(x ; y)  \in  (E)\) là điểm cần tìm. Khi đó:

\(\begin{array}{l}M{F_1} = 2M{F_2} \\  \Leftrightarrow   a + ex = 2(a - ex)  \\ \Leftrightarrow   x =  \dfrac{a}{{3e}} =  \dfrac{{{a^2}}}{{3c}} =  \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}.\\M \in (E)\\    \Rightarrow   {y^2} = 1 -  \dfrac{{{x^2}}}{9}\\ = 1 -  \dfrac{9}{{9.8}} =  \dfrac{7}{8}  \\ \Rightarrow   y =  \pm  \dfrac{{\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}.\end{array}\)

Có hai điểm cần tìm là \(\left( { \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }} ;  \pm  \dfrac{{\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}} \right)\).

b) Gọi \(N(x ; y) \in (E)\) là điểm cần tìm. Khi đó:

\(\overrightarrow {{F_1}N}  = \left( {x   + 2\sqrt 2  ; y} \right) , \) \( \overrightarrow {{F_2}N}  = \left( {x - 2\sqrt 2  ; y} \right)\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}N}  \bot \overrightarrow {{F_2}N}     \Leftrightarrow   \overrightarrow {{F_1}N} .\overrightarrow {{F_2}N}  = 0 \\  \Leftrightarrow   \left( {x + 2\sqrt 2 } \right)\left( {x - 2\sqrt 2 } \right) + {y^2} = 0\\\Leftrightarrow   {x^2} - 8 + {y^2} = 0(1)\\N \in (E)   \Rightarrow   \dfrac{{{x^2}}}{9} + {y^2} = 1. (2)\end{array}\)

Giải (1) và (2) ta được \({x^2} =  \dfrac{{63}}{8}  \)và \({y^2} =  \dfrac{1}{8}   \Rightarrow   x =  \pm  \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\) và \(y =  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\).

Có bốn điểm cần tìm là : \(\left( { \pm  \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }} ;  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)\).

c) Gọi \(P(x ; y)  \in (E)  \) là điểm cần tìm. Ta có:

\(\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 \\= {F_1}{P^2} + {F_2}{P^2} - 2{F_1}P.{F_2}P.\cos {60^0}\\ = {({F_1}P + {F_2}P)^2} - 2.{F_1}P.{F_2}P - 2{F_1}P.{F_2}P. \dfrac{1}{2}\\= 4{a^2} - 3{F_1}P.{F_2}P \\= 4{a^2} - 3(a + ex)(a - ex)\\ = 4{a^2} - 3({a^2} - {e^2}{x^2}) \\= {a^2} + 3{e^2}{x^2}.\end{array}\)

Như vậy 

\(\begin{array}{l}4{c^2} = {a^2} + 3. \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}}{x^2} \\  \Rightarrow    {x^2} =  \dfrac{{(4{c^2} - {a^2}).{a^2}}}{{3{c^2}}}\\ =  \dfrac{{(4.8 - 9).9}}{{3.8}} =  \dfrac{{69}}{8}\\\Rightarrow   x =  \pm  \dfrac{{\sqrt {69} }}{{2\sqrt 2 }}.\\P \in (E)   \Rightarrow   {y^2} = 1 -  \dfrac{{{x^2}}}{9} \\= 1 -  \dfrac{{23}}{{24}} =  \dfrac{1}{{24}}    \Rightarrow   y =  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}.\end{array}\)

Có bốn điểm cần tìm với tọa độ là \(\left( { \pm  \dfrac{{\sqrt {69} }}{{2\sqrt 2 }} ;  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}} \right)\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.