Bài 27 trang 24 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

LG a

\(f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x} \) trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\);

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {\sqrt {3 - 2x\,} }} < 0\) với mọi \(x < {3 \over 2}\,\)

Hàm số \(f\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\)

Do đó \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( { - 3} \right) = 3\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( 1 \right) = 1\)

Cách khác:

\(f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {\sqrt {3 - 2x\,} }} = 0\) vô nghiệm trên đoạn [-3;1] 

Mà \(f\left( { - 3} \right) = 3\); \(f\left( 1 \right) = 1\).

Do đó \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( { - 3} \right) = 3\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( 1 \right) = 1\)

LG b

\(f\left( x \right) = x + \sqrt {4 - {x^2}} \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)

\(f'\left( x \right) = 1 - {x \over {\sqrt {4 - {x^2}}}}\) với \(x \in \left( { - 2;2} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - {x \over {\sqrt {4 - {x^2}}} } = 0 \) \(\Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < x < 2 \hfill \cr 
4 - {x^2} = {x^2} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow x = \sqrt 2 \)

Ta có \(f\left( { - 2} \right) =  - 2;f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 ;\) \(f\left( 2 \right) = 2\)

Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}  = 2\sqrt 2 ;\) \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}  =  - 2\)

Cách khác:

BBT:

Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}  = 2\sqrt 2 ;\) \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}  =  - 2\)

LG c

\(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 2;\) 

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + 1 - {\sin ^2}x + 2 \) \(= {\sin ^4}x - {\sin ^2}x + 3\)

Đặt \(t = {\sin ^2}x;0 \le t \le 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} - t + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\)

\(g'\left( t \right) = 2t - 1\)

\(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 2}\)

Ta có: \(g\left( 0 \right) = 3;g\left( {{1 \over 2}} \right) = {{11} \over {14}};g\left( 1 \right) = 3\)

Do đó:  \(\mathop {\min g\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]}  = {{11} \over {14}};\mathop {\max g\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]}  = 3\)

Vậy: \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {{11} \over {14}}\) đạt được khi \({\sin ^2}x = \frac{1}{2} \) \(\Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2}  \) \(\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = 1 \) \( \Leftrightarrow \cos 2x = 0  \) \(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \) \(  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)

\(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = 3\) đạt được khi \( x = \frac{k\pi }{2} \)

LG d

\(f\left( x \right) = x - \sin 2x\) trên đoan \(\left[ { - {\pi  \over 2};\pi } \right]\).

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = 1 - 2\cos 2x;\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi  \over 3}\) \( \Leftrightarrow 2x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\)

Với \( - {\pi  \over 2} < x < \pi ,f'\left( x \right) = 0\) tại các điểm \( - {\pi  \over 6},{\pi  \over 6}\) và \({{5\pi } \over 6}\)

Ta có \(f\left( { - {\pi  \over 6}} \right) =  - {\pi  \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2};\) \(f\left( {{\pi  \over 6}} \right) = {\pi  \over 6} - {{\sqrt 3 } \over 2};\) \(f\left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2}\); \(f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) =  - {\pi  \over 2};f\left( \pi  \right) = \pi \)
So sánh năm giá trị trên ta được:
\(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - {\pi  \over 2};\pi } \right]}  = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2}\) và \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - {\pi  \over 2};\pi } \right]}  =  - {\pi  \over 2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài