Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

LG a

\(y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x, - 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t - 1\)

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\mathbb R\).

\(f'\left( t \right) = 4t + 2;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - {1 \over 2}\)

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) =  - 1;f\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {3 \over 2};\) \(f\left( 1 \right) = 3\)

Bảng biến thiên:

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  =  - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = 3\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  =  - {3 \over 2}\) đạt được khi 

\(\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\)

\(\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = 3\) đạt được khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

LG b

\(y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = 1 - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 4 \) \(=  - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 5\)

Đặt \(t = \sin 2x, - 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) =  - {t^2} - {1 \over 2}t + 5\)

\(f'\left( t \right) =  - 2t - {1 \over 2}\)

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - {1 \over 4} \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { - {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}};\) \(f\left( 1 \right) = {7 \over 2}\)

BBT:

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = {7 \over 2};\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = {{81} \over {16}}\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {7 \over 2}\) đạt được khi \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)

\(\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {{81} \over {16}}\) đạt được khi 

\(\sin 2x = - \frac{1}{4} \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \\
2x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k\pi
\end{array} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 4 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài