Bài 19 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Đề bài

Cho một tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Người ta dựng một hình chữ nhật \(MNPQ\) có cạnh \(MN\) nằm trên cạnh \(BC\), hai đỉnh \(P\) và \(Q\) theo thứ tự nằm trên hai cạnh \(AC\) và \(AB\) của tam giác. Xác định vị trí của điểm \(M\) sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Lời giải chi tiết

Đặt \(BM = x\left( {0 < x < {a \over 2}} \right)\)

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) ta có \(AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(\Delta BMQ = \Delta CNP\) \( \Rightarrow BM = NC = x\) \(\Rightarrow MN = a - 2x\)

\(QM//AH\) nên \({{QM} \over {AH}} = {{BM} \over {BH}} \) \(\Rightarrow QM = {{AH.BM} \over {BH}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}.x} \over {{a \over 2}}} = x\sqrt 3 \)

Diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là

\(S\left( x \right) = MN.QM = \left( {a - 2x} \right).x\sqrt 3  \) \(= \sqrt 3 \left( {ax - 2{x^2}} \right)\)

Ta tìm giá trị lớn nhất của \(S\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;{a \over 2}} \right)\)

Ta có : \(S'\left( x \right) = \sqrt 3 \left( {a - 4x} \right)\)

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {a \over 4}\)

\(S\left( {{a \over 4}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 8}{a^2}\)

Vậy \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = {a \over 4}\) và giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật là: \(\mathop {\max \,\,\,S\left( x \right)}\limits_{x \in \left( {0;{a \over 2}} \right)}  = S\left( {{a \over 4}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 8}{a^2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 8 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài