Bài 21 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm cực trị của các hàm số sau:

LG a

\(f\left( x \right) = {x \over {{x^2} + 1}};\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\)

\(f'\left( x \right) = {{{x^2} + 1 - 2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{1 - {x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1,f\left( 1 \right) = {1 \over 2} \hfill \cr 
x = - 1,f\left( { - 1} \right) = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - 1} \right) =  - {1 \over 2}\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), giá trị cực đại \(f\left( 1 \right) = {1 \over 2}\).

LG b

\(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over {x + 1}};\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = {\mathbb {R}}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = {{3{x^2}\left( {x + 1} \right) - {x^3}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2{x^3} + 3{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}   \cr 
& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 3} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr 
& f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4} \cr} \)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - {3 \over 2}\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4}\).

Hàm số không có cực đại.

LG c

\(f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} ;\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)

\(f'\left( x \right) = {{ - 2x} \over {2\sqrt {5 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {5 - {x^2}} }}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \).

Hàm số không có cực tiểu.

LG d

\(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 1} \).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right)\) xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \le  - 1\) hoặc \(x \ge 1\).

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

\(f'\left( x \right) = 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = {{\sqrt {{x^2} - 1}  + x} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}\) 

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = - x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr 
{x^2} - 1 = {x^2} \hfill \cr} \right.\) vô nghiệm

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\) và đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Chú ý:

Để xét dấu nhanh và chính xác trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì ta chỉ cần cho x nhận 1 giá cụ thể thuộc khoảng đó. Chẳng hạn,

\(f'\left( { - 2} \right) < 0 \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x <  - 1\).

\(f'\left( { - 2} \right) > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) > 2\) với mọi \(x > 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài