Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 21 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm cực trị của các hàm số sau:

LG a

\(f\left( x \right) = {x \over {{x^2} + 1}};\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\)

\(f'\left( x \right) = {{{x^2} + 1 - 2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{1 - {x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1,f\left( 1 \right) = {1 \over 2} \hfill \cr 
x = - 1,f\left( { - 1} \right) = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - 1} \right) =  - {1 \over 2}\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), giá trị cực đại \(f\left( 1 \right) = {1 \over 2}\).

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

LG b

\(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over {x + 1}};\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = {\mathbb {R}}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = {{3{x^2}\left( {x + 1} \right) - {x^3}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2{x^3} + 3{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}   \cr 
& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 3} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr 
& f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4} \cr} \)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - {3 \over 2}\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4}\).

Hàm số không có cực đại.

LG c

\(f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} ;\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)

\(f'\left( x \right) = {{ - 2x} \over {2\sqrt {5 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {5 - {x^2}} }}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \).

Hàm số không có cực tiểu.

LG d

\(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 1} \).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right)\) xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \le  - 1\) hoặc \(x \ge 1\).

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

\(f'\left( x \right) = 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = {{\sqrt {{x^2} - 1}  + x} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}\) 

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = - x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr 
{x^2} - 1 = {x^2} \hfill \cr} \right.\) vô nghiệm

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\) và đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Chú ý:

Để xét dấu nhanh và chính xác trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì ta chỉ cần cho x nhận 1 giá cụ thể thuộc khoảng đó. Chẳng hạn,

\(f'\left( { - 2} \right) < 0 \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x <  - 1\).

\(f'\left( { - 2} \right) > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) > 2\) với mọi \(x > 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua