Bài 27 trang 24 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

LG a

\(f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x} \) trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\);

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {\sqrt {3 - 2x\,} }} < 0\) với mọi \(x < {3 \over 2}\,\)

Hàm số \(f\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\)

Do đó \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( { - 3} \right) = 3\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( 1 \right) = 1\)

Cách khác:

\(f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {\sqrt {3 - 2x\,} }} = 0\) vô nghiệm trên đoạn [-3;1] 

Mà \(f\left( { - 3} \right) = 3\); \(f\left( 1 \right) = 1\).

Do đó \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( { - 3} \right) = 3\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( 1 \right) = 1\)

LG b

\(f\left( x \right) = x + \sqrt {4 - {x^2}} \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)

\(f'\left( x \right) = 1 - {x \over {\sqrt {4 - {x^2}}}}\) với \(x \in \left( { - 2;2} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - {x \over {\sqrt {4 - {x^2}}} } = 0 \) \(\Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < x < 2 \hfill \cr 
4 - {x^2} = {x^2} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow x = \sqrt 2 \)

Ta có \(f\left( { - 2} \right) =  - 2;f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 ;\) \(f\left( 2 \right) = 2\)

Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}  = 2\sqrt 2 ;\) \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}  =  - 2\)

Cách khác:

BBT:

Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}  = 2\sqrt 2 ;\) \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]}  =  - 2\)

LG c

\(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 2;\) 

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + 1 - {\sin ^2}x + 2 \) \(= {\sin ^4}x - {\sin ^2}x + 3\)

Đặt \(t = {\sin ^2}x;0 \le t \le 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} - t + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\)

\(g'\left( t \right) = 2t - 1\)

\(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 2}\)

Ta có: \(g\left( 0 \right) = 3;g\left( {{1 \over 2}} \right) = {{11} \over {14}};g\left( 1 \right) = 3\)

Do đó:  \(\mathop {\min g\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]}  = {{11} \over {14}};\mathop {\max g\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]}  = 3\)

Vậy: \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {{11} \over {14}}\) đạt được khi \({\sin ^2}x = \frac{1}{2} \) \(\Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2}  \) \(\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = 1 \) \( \Leftrightarrow \cos 2x = 0  \) \(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \) \(  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)

\(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = 3\) đạt được khi \( x = \frac{k\pi }{2} \)

LG d

\(f\left( x \right) = x - \sin 2x\) trên đoan \(\left[ { - {\pi  \over 2};\pi } \right]\).

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = 1 - 2\cos 2x;\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi  \over 3}\) \( \Leftrightarrow 2x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\)

Với \( - {\pi  \over 2} < x < \pi ,f'\left( x \right) = 0\) tại các điểm \( - {\pi  \over 6},{\pi  \over 6}\) và \({{5\pi } \over 6}\)

Ta có \(f\left( { - {\pi  \over 6}} \right) =  - {\pi  \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2};\) \(f\left( {{\pi  \over 6}} \right) = {\pi  \over 6} - {{\sqrt 3 } \over 2};\) \(f\left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2}\); \(f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) =  - {\pi  \over 2};f\left( \pi  \right) = \pi \)
So sánh năm giá trị trên ta được:
\(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - {\pi  \over 2};\pi } \right]}  = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2}\) và \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - {\pi  \over 2};\pi } \right]}  =  - {\pi  \over 2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 8 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí