Bài 24 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

LG a

\({z^3} + 1 = 0\);

Phương pháp giải:

Phân tích các đa thức vế trái thành nhân tử. Sử dụng phương pháp giải phương trình tích 

\(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\({z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0\)

Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} =  - 1\)

\({z^2} - z + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} =  - {3 \over 4} = {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\)              

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_2} \hfill \cr  z = {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_3} \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(S = \left\{ { - 1;{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i;{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right\}\)

LG b

\({z^4} - 1 = 0\);

Lời giải chi tiết:

\({z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {z^2} - 1 = 0 \hfill \cr  {z^2} + 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z =  \pm 1 \hfill \cr  z =  \pm i \hfill \cr}  \right.\)

Phương trình có 4 nghiệm \({z_1} = i,{z_2} =  - i,{z_3} = 1,{z_4} =  - 1\)

LG c

\({z^4} + 4 = 0\)

Lời giải chi tiết:

\({z^4} + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow {z^4} - {\left( {2i} \right)^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2i} \right)\left( {{z^2} - 2i} \right) = 0\)

Nghiệm của \({z^2} + 2i = 0\) là các căn bậc hai của -2i, đó là \({z_1} = 1 - i\),\({z_2} =  - 1 + i\)

(Do \({\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i - 1 =  - 2i\))

Nghiệm của \({z^2} - 2i = 0\) là các căn bậc hai của 2i, đó là \({z_3} = 1 + i\),\({z_4} =  - 1 - i\)

(Do \({\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i - 1 =   2i\))

Vậy \({z^4} + 4 = 0\) có bốn nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\).

LG d

\(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1\).

Lời giải chi tiết:

\(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0\)

Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} =  - 1\)

Nghiệm của \(2z - 1 = 0\) là \({z_2} = {1 \over 2}\)

Phương trình \(4{z^2} + 2z + 1 = 0\) có \(\Delta ' = 1 - 4 =  - 3\) nên có nghiệm là \({z_3} =  - {1 \over 4} + {{\sqrt 3 } \over 4}i\) và \({z_4} =  - {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 4}i\)

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm\({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 6 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài