Bài 17 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:

Đề bài

Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:\( - i\);\(4i\);\( - 4\);\(1 + 4\sqrt 3 i\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của w.

- Lập hệ phương trình ẩn x, y dựa vào điều kiện \(z^2=w\).

- Giải hệ tìm x, y và kết luận.

Lời giải chi tiết

* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(-i\), ta có:

\({\left( {x + yi} \right)^2} =  - i \) \(\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi =  - i\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} - {y^2} = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  2xy =  - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

Từ (2) suy ra \(y =  - {1 \over {2x}}\) thế vào (1) ta được:

\({x^2} - {1 \over {4{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = {1 \over 4} \Leftrightarrow x =  \pm {1 \over {\sqrt 2 }}\)

+) Với \(x = {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y =  - {1 \over {2x}} =  - {1 \over {\sqrt 2 }}\)

+) Với \(x =  - {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y =  - {1 \over {2x}} = {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Hệ có hai nghiệm là: \(\left( { - {1 \over {\sqrt 2 }},{1 \over {\sqrt 2 }}} \right),\left( {{1 \over {\sqrt 2 }}, - {1 \over {\sqrt 2 }}} \right)\)

Vậy \(–i\) có hai căn bậc hai là: \({z_1} =  - {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i\),\({z_2} = {1 \over {\sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2 }}i\)

* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(4i\), ta có:

\({\left( {x + yi} \right)^2} = 4i \) \(\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 4i  \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} - {y^2} = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  xy = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

Thay \(y = {2 \over x}\) vào phương trình thứ nhất ta được:

\({x^2} - {4 \over {{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \)

+) Với \(x = \sqrt 2 \) ta có \(y = {2 \over x} = \sqrt 2 \);            

+) Với \(x =  - \sqrt 2 \) ta có \(y =  - \sqrt 2 \)

Hệ có hai nghiệm \(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\),\(\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)

Vậy \(4i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = \sqrt 2  + \sqrt 2 i\);        \({z_2} =  - \sqrt 2  - \sqrt 2 i\)

* Ta có \( - 4 = 4{i^2} = {\left( {2i} \right)^2}\) do đó \(-4\) có hai căn bậc hai là \( \pm 2i\)

* Giả sử  \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(1 + 4\sqrt 3 i\).

\({\left( {x + yi} \right)^2} = 1 + 4\sqrt 3 i\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} - {y^2} = 1 \hfill \cr  \,2xy = 4\sqrt 3 \, \hfill \cr}  \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr  {x^2} - {{12} \over {{x^2}}}=1 \hfill \cr}  \right.  \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}\\
{x^4} - {x^2} - 12 = 0
\end{array} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 4\\
{x^2} = - 3\left( {loai} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr  {x^2} = 4 \hfill \cr}  \right.  \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 2 \hfill \cr  y = \sqrt 3  \hfill \cr}  \right.\) hoặc \(\left\{ \matrix{  x =  - 2 \hfill \cr  y =  - \sqrt 3  \hfill \cr}  \right.\)

Hệ có hai nghiệm \(\left( {2;\sqrt 3 } \right),\left( { - 2; - \sqrt 3 } \right)\)

Vậy \(1 + 4\sqrt 3 i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = 2 + \sqrt 3 i\),\({z_2} =  - 2 - \sqrt 3 i\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 3 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài