Bài 18 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì

Đề bài

Chứng minh rằng nếu \(z\) là một căn bậc hai của số phức \({\rm{w}}\) thì  \(\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \).

Lời giải chi tiết

Giả sử \(z=x+yi\) và \(\rm{w}=a+bi\)

\(z\) là một căn bậc hai của số phức w thì \({z^2} = {\rm{w}}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = a \hfill \cr 
2xy = b \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {a^2} \hfill \cr 
4{x^2}{y^2} = {b^2} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = {x^2} + {y^2} \cr} \)

  \(  \Rightarrow {\left| z \right|^2} = \left| {\rm{w}} \right| \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left| z \right|}^2}}  = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài