Bài 12 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 12 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho hai đường thẳng

\({d_1}: 2x - y - 2 = 0 ,\)

\({d_2}: x + y + 3 = 0\) và điểm \(M(3 ; 0).\)

LG a

Tìm tọa độ giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\).

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(d_1, d_2\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2 = 0 \\ x + y + 3 = 0\end{array} \right.\)

Giải hệ ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{3}\\y = - \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\)

LG b

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) , cắt \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt tại điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB.\)

Lời giải chi tiết:

(h.96).

Cách 1:

\(A({x_A} ; {y_A}) \in {d_1} \Rightarrow {y_A} = 2{x_A} - 2 ;\) \( B({x_B} ; {y_B}) \in {d_2} \Rightarrow {y_B} = - {x_B} - 3\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M} \end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 6\\2{x_A} - 2 - {x_B} - 3 = 0\end{array} \right. \\ \Rightarrow {x_A} = \dfrac{{11}}{3} \Rightarrow {y_A} = \dfrac{{16}}{3}.\end{array}\)

Vậy \(A\left( { \dfrac{{11}}{3} ; \dfrac{{16}}{3}} \right)\).

Đường thẳng \(MA\) trùng với đường thẳng \(\Delta \). Từ đó ta tìm được phương trình của \(\Delta \) là \(8x-y-24=0.\)

Cách 2:

Dễ thấy đường thẳng \(\Delta \) cần tìm không vuông góc với \(Ox\). Gọi k là hệ số góc của \(\Delta \) thì phương trình của \(\Delta \) có dạng: \(y=k(x-3).\)

Gọi \(A = \Delta \cap {d_1} , B = \Delta \cap {d_2}\). Khi đó hoành độ của A là nghiệm của phương trình :\(2x - 2 = k(x - 3)\).

Suy ra \({x_A} = \dfrac{{3k - 2}}{{k - 2}} (k \ne 2\) vì nếu \(k=2\) thì phương trình \(2x - 2 = k(x - 3)\) vô nghiệm).

Hoành độ của \(B\) là nghiệm của phương trình \( - x - 3 = k(x - 3)\).

Suy ra \({x_B} = \dfrac{{3k - 3}}{{k + 1}} (k \ne - 1\) vì nếu \(k=-1\) thì phương trình \( - x - 3 = k(x - 3)\) vô nghiệm). Từ giả thiết \(M\) là trung điểm của \(AB\) suy ra:

\({x_A} + {x_B} = 2{x_M} \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{3k - 2}}{{k - 2}} + \dfrac{{3k - 3}}{{k + 1}} = 6 \Leftrightarrow k = 8\).

Vậy phương trình của \(\Delta \) là \(y=8(x-3)\) hay \(8x-y-24=0.\)

Loigiaihay.com