Bài 11 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 11 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho điểm \(M(a; b)\) với \(a > 0, b > 0\). Viết phương trình đường thẳng qua \(M\) và cắt các tia \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A, B\) sao cho tam giác \(OAB\) có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

(h.95).

 

Gọi \(A(x_0 ; 0), B(0 ; y_0).\)

Khi đó, \(x_0 > 0, y_0 > 0\). Phương trình đường thẳng AB là \( \dfrac{x}{{{x_0}}} +  \dfrac{y}{{{y_0}}} = 1\).

\(\begin{array}{l}M \in AB   \Rightarrow    \dfrac{a}{{{x_0}}} +  \dfrac{b}{{{y_0}}} = 1.\\{S_{OAB}} =  \dfrac{1}{2}.OA.OB =  \dfrac{1}{2}{x_0}.{y_0}.\end{array}\)

Ta có

\(1 =  \dfrac{a}{{{x_0}}} +  \dfrac{b}{{{y_0}}} \ge 2\sqrt { \dfrac{{ab}}{{{x_0}{y_0}}}}\)

\(\Rightarrow {x_0}{y_0} \ge 4ab\).

Do đó \({S_{OAB}} =  \dfrac{1}{2}{x_0}{y_0} \ge  \dfrac{1}{2}.4ab = 2ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( \dfrac{a}{{{x_0}}} =  \dfrac{b}{{{y_0}}} =  \dfrac{1}{2}\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2a\\{y_0} = 2b\end{array} \right.\).

Vậy diện tích tam giác \(OAB\) nhỏ nhất bằng 2ab khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2a\\{y_0} = 2b\end{array} \right.\). Phương trình đường thẳng cần tìm là \( \dfrac{x}{{2a}} +  \dfrac{y}{{2b}} = 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.