Bài 11 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao>
Giải bài tập Bài 11 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao
Đề bài
Cho điểm \(M(a; b)\) với \(a > 0, b > 0\). Viết phương trình đường thẳng qua \(M\) và cắt các tia \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A, B\) sao cho tam giác \(OAB\) có diện tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
(h.95).
Gọi \(A(x_0 ; 0), B(0 ; y_0).\)
Khi đó, \(x_0 > 0, y_0 > 0\). Phương trình đường thẳng AB là \( \dfrac{x}{{{x_0}}} + \dfrac{y}{{{y_0}}} = 1\).
\(\begin{array}{l}M \in AB \Rightarrow \dfrac{a}{{{x_0}}} + \dfrac{b}{{{y_0}}} = 1.\\{S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}.OA.OB = \dfrac{1}{2}{x_0}.{y_0}.\end{array}\)
Ta có
\(1 = \dfrac{a}{{{x_0}}} + \dfrac{b}{{{y_0}}} \ge 2\sqrt { \dfrac{{ab}}{{{x_0}{y_0}}}}\)
\(\Rightarrow {x_0}{y_0} \ge 4ab\).
Do đó \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}{x_0}{y_0} \ge \dfrac{1}{2}.4ab = 2ab\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( \dfrac{a}{{{x_0}}} = \dfrac{b}{{{y_0}}} = \dfrac{1}{2}\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2a\\{y_0} = 2b\end{array} \right.\).
Vậy diện tích tam giác \(OAB\) nhỏ nhất bằng 2ab khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2a\\{y_0} = 2b\end{array} \right.\). Phương trình đường thẳng cần tìm là \( \dfrac{x}{{2a}} + \dfrac{y}{{2b}} = 1\).
Loigiaihay.com
- Bài 12 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 13 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 10 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 9 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 8 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao
>> Xem thêm