Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng.

Bài 10 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 10 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(Q(2 ; 3)\) và cắt các tia \(Ox, Oy\) tại hai điểm \(M, N\) khác điểm \(O\) sao cho \(OM+ON\) nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(M=(m ; 0), N=(0 ; n)\) với \(m, n >0\). Phương trình của \(\Delta \) là \( \dfrac{x}{m} +  \dfrac{y}{n} = 1\).

\(Q \in \Delta    \Rightarrow    \dfrac{2}{m} +  \dfrac{3}{n} = 1    \Rightarrow    n =  \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\) (dễ thấy \(m \ne 2\)). Do \(n > 0\) nên \(m > 2.\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có

\(\begin{array}{l}OM + ON = m + n = m +  \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\\= m - 2 +  \dfrac{6}{{m - 2}} + 5\\ \ge 2\sqrt {(m - 2) \dfrac{6}{{m - 2}}}  + 5 = 2\sqrt 6  + 5\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m - 2 =  \dfrac{6}{{m - 2}}\) hay \(m = 2 + \sqrt 6 \) (do \(m > 0\)).

Suy ra \(n = 3 + \sqrt 6 \). Vậy \(OM+ON\) nhỏ nhất bằng \(2\sqrt 6  + 5\) khi \(m = 2 + \sqrt 6 \) và \(n = 3 + \sqrt 6 \). Khi đó phương trình của \(\Delta \) là \( \dfrac{x}{{2 + \sqrt 6 }} =  \dfrac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store