Bài 9 trang 28 SGK Hình học 10


Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’ bất kì thì:

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Chứng minh rằng nếu \(G\) và \(G’\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) bất kì thì: \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}. \)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xen cả hai điểm G, G' vào các véc tơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) để tính tổng.

Nhóm các véc tơ thích hợp, sử dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Lời giải chi tiết

G là trọng tâm tam giác ABC nên:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow - \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0
\end{array}\)

G' là trọng tâm tam giác A'B'C' nên:

\(\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \\
= \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} \\
+ \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} \\
+ \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} \\
= \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right)\\
+ \left( {\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} } \right)\\
+ \left( {\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + + \overrightarrow {G'C'} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + 3\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0 \\
= 3\overrightarrow {GG'} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'}
\end{array}\)

Cách khác:

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} \cr
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'G'} \cr
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G'} \cr} \)

\(\Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) \)\(+ (\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} ) \)\(+ (\overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} )\)       (1)

\(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên:

       \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)   (2)

\(G’\) là trọng tâm của tam giác \(A’B’C’\) nên:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} = \overrightarrow 0  \, \, \, (3)\cr} \)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}. \)

Loigiaihay.com  


Bình chọn:
4.6 trên 29 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

PH/HS Tham Gia Nhóm Lớp 10 Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!