SGK Toán lớp 10 Ôn tập chương I - Vectơ - Toán 10

Bài 5 trang 27 (Ôn tập chương I - Vectơ) SGK Hình học 10


Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hãy xác định các điểm \(M, N, P\) sao cho:

LG a

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Kéo dài \(OC\) cắt đường tròn tại điểm \(M\).

MC là đường kính nên \(\widehat {MBC} = {90^0} \Rightarrow MB \bot BC\).

Mà tam giác ABC đều nên \(AO\bot BC\).

Do đó MB//OA (1)

Lại có \(\widehat {MAC} = {90^0} \Rightarrow MA \bot AC\).

Mà tam giác ABC đều nên \(BO\bot AC\).

Do đó MA//BO (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(OAMB\) là hình bình hành, suy ra:

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OM} \).

Vậy M là điểm cần tìm.

Cách 2:

O là tâm tam giác ABC nên cũng là trọng tâm tam giác.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  =  - \overrightarrow {OC} \end{array}\)

Mà \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

Nên \(\overrightarrow {OM}  =  - \overrightarrow {OC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} \) là véc tơ đối của \(\overrightarrow {OC} \) hay O là trung điểm của CM.

Mà OC là bán kính nên CM=2CO là đường kính của đường tròn.

Vậy M là giao điểm của CO với đường tròn.

Cách 3:

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \) \( \Leftrightarrow \) M là đỉnh còn lại của hình bình hành AOBM.

+ AOBM là hình bình hành ⇒ AM = OB

Mà OB = OA (= bán kính đường tròn) ⇒ AM = AO ⇒ ΔAMO cân tại A (1)

+ AOBM là hình bình hành ⇒ AM//BO

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {MAO} + \widehat {AOB} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {MAO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {MAO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ⇒ ΔAMO đều ⇒ OM = OA ⇒ M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Mà \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\) nên M là điểm chính giữa cung AB.

LG b

\(\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \)

Lời giải chi tiết:

Nối \(OA\) và kéo dài cắt đường tròn tại điểm \(N\)

Tương tự như trên ta có:

\(\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \)

Cách khác:

\(\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \) \( \Leftrightarrow \) N là đỉnh còn lại của hình bình hành BOCN.

+ BOCN là hình bình hành ⇒ OB=CN

Mà OB = OC (= bán kính đường tròn) ⇒ CN = CO ⇒ ΔCNO cân tại C (1)

+ BOCN là hình bình hành ⇒ CN//BO

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {NCO} + \widehat {BOC} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {NCO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {NCO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ⇒ ΔCNO đều ⇒ ON = OC ⇒ N nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Mà \(\widehat {BON} = \widehat {CON}\) nên N là điểm chính giữa cung BC.

LG c

\(\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA} \)

Lời giải chi tiết:

Nối \(OB\) và kéo dài cắt đường tròn tại điểm \(P\)

Tương tự như trên ta có:

\(\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA} \)

Cách khác:

\(\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA} \) \( \Leftrightarrow \) P là đỉnh còn lại của hình bình hành AOCP.

+ AOCP là hình bình hành ⇒ OA=PC

Mà OA = OC (= bán kính đường tròn) ⇒ OC = PC ⇒ ΔCPO cân tại C (1)

+ AOCP là hình bình hành ⇒ AO//CP

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {PCO} + \widehat {COA} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {PCO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {PCO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ⇒ ΔCPO đều ⇒ OP = OC ⇒ P nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Mà \(\widehat {AOP} = \widehat {COP}\) nên P là điểm chính giữa cung AC.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 19 phiếu
Bài tiếp theo

Các bài liên quan: - Ôn tập chương I - Vectơ - Toán 10

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store
Hỏi bài

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua