Câu 6.65 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao>
Giải bài tập Câu 6.65 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao
Đề bài
a) Chứng minh \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} = - \dfrac{1}{8}\) bằng cách nhân cả hai vế với \(\sin \dfrac{{2\pi }}{9}.\)
b) Chứng minh rằng\(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2\cos \dfrac{{5\pi }}{9}\cos \dfrac{\pi }{3} = \cos \dfrac{{5\pi }}{9},\)
Từ đó suy ra \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 0\) .
c) Từ b) suy ra rằng \({\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{3}{2}\).
d) Từ b và c) suy ra rằng:
\(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} = - \dfrac{3}{4}\) .
e) Từ a), b) và d) suy ra rằng
\(\left( {X - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = {X^3} - \dfrac{3}{4}X + \dfrac{1}{8},\)
từ đó ta có \(\left( {1 - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = \dfrac{3}{8}.\)
Suy ra
• \(\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\)
• \(\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\)
f) Từ e) suy ra rằng
\(\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{3\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{6\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{9}{{256}}.\)
(Chú ý. Người ta chứng minh được rằng không thể dùng thước và compa để dựng đa giác đều chín cạnh nội tiếp trong một đường tròn cho trước.)
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{4}\sin \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{8}\sin \dfrac{{16\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{8}\sin \left( {2\pi - \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\\ = - \dfrac{1}{8}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\end{array}\)
Từ đó: \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} = - \dfrac{1}{8}.\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2\cos \dfrac{{5\pi }}{9}\cos \dfrac{\pi }{3}\\ = \cos \dfrac{{5\pi }}{9} = \cos \left( {\pi - \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\\ = - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\end{array}\)
từ đó \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 0.\)
c) Do
\(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{\pi }{9} - 1 = 2{\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} - 1,\\cos\dfrac{{4\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} - 1\\\cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} - 1,\end{array}\)
nên từ b) suy ra
\({\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{3}{2}.\)
d) Với mọi số A, B, C ta có:
\(AB + BC + CA = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {A + B + C} \right)}^2} - {A^2} - {B^2} - {C^2}} \right]\) nên
\(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right)}^2} - \left( {{{\cos }^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {{\cos }^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {{\cos }^2}\dfrac{{8\pi }}{9}} \right)} \right]\\ = - \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2} = - \dfrac{3}{4}.\end{array}\)
e) Ta có
\(\begin{array}{l}\left( {X - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right)\\ = {X^3} - \left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right){X^2}\\ + \left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)X\\ - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = {X^3} - \dfrac{3}{4}X + \dfrac{1}{8}.\end{array}\)
Từ đó \(\left( {1 - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = \dfrac{3}{8}\), tức là
\(2{\sin ^2}\dfrac{\pi }{9}.2{\sin ^2}\dfrac{{2\pi }}{9}.2{\sin ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{3}{8}\),
suy ra
\(\sin \dfrac{\pi }{9}.\sin \dfrac{{2\pi }}{9}.\sin \dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\)
Đẳng thức này lại cho ta \(\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\)
f) Từ e) ta suy ra:
\(\begin{array}{l}\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{3\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{6\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\sin \dfrac{\pi }{3}\sin \dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{9}{{256}}.\end{array}\)
Loigiaihay.com
- Câu 6.66 trang 208 SBT Đại số 10 Nâng cao
- Câu 6.67 trang 208 SBT Đại số 10 Nâng cao
- Câu 6.68 trang 208 SBT Đại số 10 Nâng cao
- Câu 6.69, 6.70, 6.71, 6.72, 6.73 trang 208, 209 SBT Đại số 10 Nâng cao
- Câu 6.74, 6.75, 6.76, 6.77, 6.78 trang 209, 210 SBT Đại số 10 Nâng cao
>> Xem thêm