Câu 6.65 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 6.65 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

a) Chứng minh \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} =  - \dfrac{1}{8}\) bằng cách nhân cả hai vế với \(\sin \dfrac{{2\pi }}{9}.\)

b) Chứng minh rằng\(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2\cos \dfrac{{5\pi }}{9}\cos \dfrac{\pi }{3} = \cos \dfrac{{5\pi }}{9},\) 

Từ đó suy ra \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 0\) .

c) Từ b) suy ra rằng \({\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{3}{2}\).

d) Từ b và c) suy ra rằng:

\(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} =  - \dfrac{3}{4}\) .

e) Từ a), b) và d) suy ra rằng

\(\left( {X - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = {X^3} - \dfrac{3}{4}X + \dfrac{1}{8},\)

từ đó ta có \(\left( {1 - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = \dfrac{3}{8}.\)

Suy ra

• \(\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\)

• \(\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\)

f) Từ e) suy ra rằng

\(\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{3\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{6\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{9}{{256}}.\)

(Chú ý. Người ta chứng minh được rằng không thể dùng thước và compa để dựng đa giác đều chín cạnh nội tiếp trong một đường tròn cho trước.)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{4}\sin \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{8}\sin \dfrac{{16\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{8}\sin \left( {2\pi  - \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\\ =  - \dfrac{1}{8}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\end{array}\)

Từ đó: \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} =  - \dfrac{1}{8}.\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2\cos \dfrac{{5\pi }}{9}\cos \dfrac{\pi }{3}\\ = \cos \dfrac{{5\pi }}{9} = \cos \left( {\pi  - \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\\ =  - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\end{array}\)

từ đó \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 0.\)

c) Do

 \(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{\pi }{9} - 1 = 2{\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} - 1,\\cos\dfrac{{4\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} - 1\\\cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} - 1,\end{array}\)

nên từ b) suy ra

\({\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{3}{2}.\)

d) Với mọi số A, B, C ta có:

\(AB + BC + CA = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {A + B + C} \right)}^2} - {A^2} - {B^2} - {C^2}} \right]\) nên

\(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right)}^2} - \left( {{{\cos }^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {{\cos }^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {{\cos }^2}\dfrac{{8\pi }}{9}} \right)} \right]\\ =  - \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2} =  - \dfrac{3}{4}.\end{array}\)

e) Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {X - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right)\\ = {X^3} - \left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right){X^2}\\ + \left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)X\\ - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = {X^3} - \dfrac{3}{4}X + \dfrac{1}{8}.\end{array}\)

Từ đó \(\left( {1 - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = \dfrac{3}{8}\), tức là

\(2{\sin ^2}\dfrac{\pi }{9}.2{\sin ^2}\dfrac{{2\pi }}{9}.2{\sin ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{3}{8}\),

suy ra

\(\sin \dfrac{\pi }{9}.\sin \dfrac{{2\pi }}{9}.\sin \dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\)

Đẳng thức này lại cho ta \(\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\)

f) Từ e) ta suy ra:

\(\begin{array}{l}\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{3\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{6\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\sin \dfrac{\pi }{3}\sin \dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{9}{{256}}.\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí