Câu 6.62 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 6.62 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \) mà \(\sin 2\alpha  \ne 0\), ta có

\(\sin \left( {\cot \alpha } \right) + \sin \left( {\tan \alpha } \right) = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{\sin 2\alpha }}} \right)\cos \left( {\cot 2\alpha } \right)\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(u = \dfrac{1}{2}\left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right),\) \(v = \dfrac{1}{2}\left( {\tan \alpha  - \cot \alpha } \right)\) thì \(u + v = \tan \alpha ,u - v = \cot \alpha \). Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\tan \alpha } \right) + \sin \left( {\cot \alpha } \right)\\ = \sin \left( {u + v} \right) + \sin \left( {u - v} \right)\\ = 2\sin u\cos v\\ = 2\sin \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)} \right].\cos \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)} \right]\\ = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}} \right).\cos \left( {\dfrac{{{{\sin }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha }}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}} \right)\\ = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{\sin 2\alpha }}} \right).\cos \left( {\cot 2\alpha } \right).\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí