Câu 6.61 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 6.61 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Giả sử phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {ac \ne 0} \right)\) có hai nghiệm là \(\tan \alpha \) và \(\tan \beta \). Chứng minh rằng:

\(a.{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b.\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + c.{\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = c\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\tan \alpha + \tan \beta = - \dfrac{b}{a},\tan \alpha \tan \beta = \dfrac{c}{a}.\)

• Nếu \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0\) thì vế trái của đẳng thức đã cho là

\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + c{\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\\ = {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\left[ {a{{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b\tan \left( {\alpha + \beta } \right) + c} \right]\\ = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)}}\left[ {a{{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b\tan \left( {\alpha + \beta } \right) + c} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Nhưng ta có \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \dfrac{b}{{c - a}}\)

(để ý rằng \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0 \Leftrightarrow c \ne a\)) nên thay giá trị của \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right)\) vào biểu thức (*), sau khi đơn giản ta được biểu thức đó bằng c.

• Nếu \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = 0\left( { \Leftrightarrow \tan \alpha \tan \beta = 1 \Leftrightarrow a = c} \right)\) thì \({\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = 1\), nên vế trái của đẳng thức đã cho bằng \(a{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = a = c.\)

Loigiaihay.com