Bài 5 trang 27 (Ôn tập chương I - Vectơ) SGK Hình học 10
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:
GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT
Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn
Video hướng dẫn giải
Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hãy xác định các điểm \(M, N, P\) sao cho:
LG a
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \)
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Kéo dài \(OC\) cắt đường tròn tại điểm \(M\).
MC là đường kính nên \(\widehat {MBC} = {90^0} \Rightarrow MB \bot BC\).
Mà tam giác ABC đều nên \(AO\bot BC\).
Do đó MB//OA (1)
Lại có \(\widehat {MAC} = {90^0} \Rightarrow MA \bot AC\).
Mà tam giác ABC đều nên \(BO\bot AC\).
Do đó MA//BO (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OAMB\) là hình bình hành, suy ra:
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OM} \).
Vậy M là điểm cần tìm.
Cách 2:
O là tâm tam giác ABC nên cũng là trọng tâm tam giác.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {OC} \end{array}\)
Mà \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \)
Nên \(\overrightarrow {OM} = - \overrightarrow {OC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} \) là véc tơ đối của \(\overrightarrow {OC} \) hay O là trung điểm của CM.
Mà OC là bán kính nên CM=2CO là đường kính của đường tròn.
Vậy M là giao điểm của CO với đường tròn.
Cách 3:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \) \( \Leftrightarrow \) M là đỉnh còn lại của hình bình hành AOBM.
+ AOBM là hình bình hành ⇒ AM = OB
Mà OB = OA (= bán kính đường tròn) ⇒ AM = AO ⇒ ΔAMO cân tại A (1)
+ AOBM là hình bình hành ⇒ AM//BO
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {MAO} + \widehat {AOB} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {MAO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {MAO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔAMO đều ⇒ OM = OA ⇒ M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Mà \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\) nên M là điểm chính giữa cung AB.
LG b
\(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)
Lời giải chi tiết:
Nối \(OA\) và kéo dài cắt đường tròn tại điểm \(N\)
Tương tự như trên ta có:
\(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)
Cách khác:
\(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) \( \Leftrightarrow \) N là đỉnh còn lại của hình bình hành BOCN.
+ BOCN là hình bình hành ⇒ OB=CN
Mà OB = OC (= bán kính đường tròn) ⇒ CN = CO ⇒ ΔCNO cân tại C (1)
+ BOCN là hình bình hành ⇒ CN//BO
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {NCO} + \widehat {BOC} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {NCO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {NCO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔCNO đều ⇒ ON = OC ⇒ N nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Mà \(\widehat {BON} = \widehat {CON}\) nên N là điểm chính giữa cung BC.
LG c
\(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \)
Lời giải chi tiết:
Nối \(OB\) và kéo dài cắt đường tròn tại điểm \(P\)
Tương tự như trên ta có:
\(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \)
Cách khác:
\(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} \) \( \Leftrightarrow \) P là đỉnh còn lại của hình bình hành AOCP.
+ AOCP là hình bình hành ⇒ OA=PC
Mà OA = OC (= bán kính đường tròn) ⇒ OC = PC ⇒ ΔCPO cân tại C (1)
+ AOCP là hình bình hành ⇒ AO//CP
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {PCO} + \widehat {COA} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {PCO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {PCO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ⇒ ΔCPO đều ⇒ OP = OC ⇒ P nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Mà \(\widehat {AOP} = \widehat {COP}\) nên P là điểm chính giữa cung AC.
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 6 trang 27 (Ôn tập chương I - Vectơ) SGK Hình học 10
- Bài 7 trang 28 SGK Hình học 10
- Bài 8 trang 28 SGK Hình học 10
- Bài 9 trang 28 SGK Hình học 10
- Bài 10 trang 28 SGK Hình học 10
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
PH/HS Tham Gia Nhóm Lớp 10 Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!
