Câu 18 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số (sn)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số (sn) với  \({s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6}.\)

LG a

Chứng minh rằng \({s_n} = {s_{n + 3}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n>1\) tùy ý, ta có :

\(\eqalign{
& {s_{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) - 1} \right]{\pi \over 6} \cr 
& = \sin \left[ {4n - 1 + 12} \right]{\pi \over 6} \cr 
& = \sin \left[ {\left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} + 2\pi } \right] \cr 
& = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} = {s_n} \cr} \)

LG b

Hãy tính tổng \(15\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Từ kết quả phần a ta có :

\(\eqalign{
& {s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}, \cr 
& {s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}, \cr 
& {s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}} \cr} \)

Từ đó suy ra :

\({s_1} + {s_2} + {s_3} \)

\(= {s_4} + {s_5}{ + s_6} \)

\(= {s_7} + {s_8} + {s_9} \)

\(= {s_{10}} + {s_{11}} + {s_{12}} \)

\(= {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}\)

Do đó:

\({S_{15}} = {s_1} + {s_2} + ... + {s_{15}}\)

\(=({s_1} + {s_2} + {s_3})\)+\(({s_4} + {s_5}{ + s_6})\)+...+\(( {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}})\)

\(= 5\left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{s_1} = \sin \left[ {\left( {4.1 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{\pi }{2} = 1\\
{s_2} = \sin \left[ {\left( {4.2 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{{7\pi }}{6}\\
= \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{6}} \right) = - \sin \frac{\pi }{6} = - \frac{1}{2}\\
{s_3} = \sin \left[ {\left( {4.3 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{{11\pi }}{6}\\
= \sin \left( {2\pi - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}
\end{array}\)

Do đó \({s_1} = 1,{s_2} = - {1 \over 2}\,\text{ và }\,{s_3} = - {1 \over 2} \)

\( \Rightarrow {s_1} + {s_2} + {s_3} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\)

\(\Rightarrow {s_{15}} =5.0= 0\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Dãy số

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài