Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng dãy số \(\displaystyle (u_n)\) với \(\displaystyle {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\), chứng minh \(H<0\).

- Đánh giá \(u_{n}\) bị chặn dưới và bị chặn trên, tức là chỉ ra tồn tại các số thực \(m,M\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} \cr&= {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr
} \)

\(\begin{array}{l}
u_{n+1}-u_n\\= \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left[ {3\left( {n + 1} \right) + 2} \right]}}} \right) - \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}} \right)\\
= \frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{2}{3} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\
= \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{5\left( {3n + 2} \right) - 5\left( {3n + 5} \right)}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 15}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\
= - \frac{5}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)

\(\displaystyle ⇒ (u_n)\) là dãy số giảm

Ta lại có:

+) \(\frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} > 0,\forall n \in {N^*}\)

+) \(2n + 3 < 3n + 2,\forall n \in {N^*}\) vì \(2n + 3 - 3n - 2 = - n + 1 \le 0,\)\(\forall n \in {N^*}\)

Do đó \(\displaystyle 0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*\)

Vậy \(\displaystyle (u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\\
= \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 3}}{{3\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\
= \frac{{2n + 5}}{{3n + 5}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\
= \frac{{\left( {2n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right) - \left( {2n + 3} \right)\left( {3n + 5} \right)}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{6{n^2} + 19n + 10 - 6{n^2} - 19n - 15}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 5}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)

Do đó \( (u_n)\) là dãy số giảm.

Loigiaihay.com