Câu 13 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Hãy xét tính tăng

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

LG a

Dãy số (un) với \({u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7\)

Phương pháp giải:

Xét hiệu un+1 – un và so sánh với 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {\left( {n + 1} \right)^3} - 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) - 7\cr& - \left( {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right) \cr 
& = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 \cr&- 3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + 5n + 5 - 7\cr& - {n^3} + 3{n^2} - 5n + 7\cr&= 3{n^2} - 3n + 3 \cr& = 3n\left( {n - 1} \right) + 3> 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

LG b

Dãy số (xn) với  \({x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\)

Phương pháp giải:

Xét tỉ số \({{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\) và so sánh với 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} \cr&= {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n  \in \mathbb N^*\cr&\text{vì } \,3n + 3 > n + 2\;\forall n  \in \mathbb N^*  \cr 
& \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \)

\(⇒ (x_n)\) là dãy số giảm.

LG c

Dãy số (an) với  \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)

Phương pháp giải:

Viết lại công thức xác định an dưới dạng

\({a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\) (sử dụng nhân chia liên hợp)

Tiếp theo, xét tỉ số \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\) và so sánh với 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \cr& = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \cr&= \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\cr&= {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr 
& {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} \cr&=\frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}:\frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}\cr&= {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr 
& \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \)

⇒ \((a_n)\) là dãy số giảm.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Dãy số

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài