Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số (un) xác định bởi

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\) với mọi \(n ≥ 1\).

LG a

Hãy tính u2, u4 và u6.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr 
& {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr 
& {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr 
& {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr 
& {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr} \)

LG b

Chứng minh rằng \(u_n= 5n – 2\) với mọi \(n ≥ 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh : \(u_n= 5n – 2\) (1) với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \(u_1= 3 = 5.1 – 2\)

Vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k, k\in \mathbb N^*\), tức là:

\(u_k=5k-2\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (un) và giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + 5 \)

\(= 5k - 2 + 5 = 5\left( {k + 1} \right) - 2\)

Do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_{n - 1}} + 5\\
{u_{n - 1}} = {u_{n - 2}} + 5\\
...\\
{u_3} = {u_2} + 5\\
{u_2} = {u_1} + 5\\
\Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\
= \left( {{u_{n - 1}} + 5} \right) + \left( {{u_{n - 2}} + 5} \right) + ...\\
+ \left( {{u_2} + 5} \right) + \left( {{u_1} + 5} \right)\\
\Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\
= {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} + ... + {u_2} + {u_1}\\
+ \left( {5 + 5 + ... + 5 + 5} \right)(\text{ n-1 số 5})\\
\Rightarrow {u_n} = {u_1} + 5.\left( {n - 1} \right)\\
\Rightarrow {u_n} = 3 + 5n - 5 = 5n - 2
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Dãy số

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài