Bài 90 trang 52 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 90 trang 52 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho dây cung \(BC\) của đường tròn \(C(O ; R) (BC<2R).\)

a) Hãy dựng đường tròn tâm \(I\) tiếp xúc với \(OB\) ở \(B\) và tiếp xúc với \(OC\) ở \(C.\)

b) Với mỗi điểm \(M\) trên đường tròn \((I)\), kẻ các đường thẳng \(MB\) và \(MC,\) chúng lần lượt cắt lại đường tròn \((C)\) ở \(B’, C’.\)

Chứng minh rằng \(B’C’\) là đường kính của đường tròn \((C).\)

Lời giải chi tiết

(h.77).

a) Kẻ hai tiếp tuyến của \((C)\) tại \(B\) và \(C\), chúng cắt nhau ở \(I\). Khi đó, dễ thấy đường tròn tâm \(I\) bán kính \(r=IB=IC\) thỏa mãn yêu cầu.

b) Kẻ đường thẳng \(OM,\) nó cắt đường tròn \((I)\) ở \(N\) (\(N \ne M\)), ta có

\(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = O{B^2}\,\,( = {\wp _{O/(I)}})\).

Từ đó ta có \(\overrightarrow {OM} .\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MN} } \right) = {R^2}\), suy ra \(O{M^2} - \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {MN} = {R^2}\) hay \(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {MN} = O{M^2} - {R^2} \) \(= {\wp _{M/(C)}} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MB'} \).

Vậy \(N , B, O, B’\) cùng thuộc một đường tròn, suy ra \(\widehat {NOB'} = \widehat {NBM}\).

Tương tự ta có \(N, C, O, C’\) cùng thuộc một đường tròn, suy ra \(\widehat {NOC'} = \widehat {NCM}\).

Do tứ giác \(NBMC\) nội tiếp nên \(\widehat {NBM} + \widehat {NCM} = {180^0}\).

Từ đó ta có \(\widehat {NOB'} + \widehat {NOC'} = {180^0}\). Vậy ba điểm \(O, B’, C’\) thẳng hàng hay \(B’C’\) là đường kính đường tròn \((C).\)

Loigiaihay.com