Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài tập Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ ..

Bài 88 trang 51 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 88 trang 51 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho điểm \(D\) nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \(\widehat {DAB} = \widehat {DBC} = \widehat {DCA} = \varphi .\) Chứng minh rằng:

a) \({\sin ^3}\varphi  = \sin (A - \varphi )\)\(.\sin (B - \varphi ).\sin (C - \varphi ).\)

b) \(\cot \varphi  = \cot A + \cot B + \cot C.\)

Lời giải chi tiết

(h.75).

 

a) Theo định lí sin, trong tam giác \(ABD\) ta có

\(\dfrac{{DB}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{AD}}{{\sin (B - \varphi )}}\) ,     (1)

trong tam giác BCD có

\(\dfrac{{CD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{BD}}{{\sin (C - \varphi )}}\),      (2)

trong tam giác \(ACD\) có

\(\dfrac{{AD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{CD}}{{\sin (A - \varphi )}}\).

Từ đó ta có

\(\dfrac{{AD.BD.CD}}{{{{\sin }^3}\varphi }}\)

\(= \dfrac{{AD.BD.CD}}{{\sin (A - \varphi )\sin (B - \varphi )\sin (C - \varphi )}}\).

Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

b) Áp dụng định lí cosin vào tam giác \(DAB\) ta có

\(B{D^2}\)\( = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \varphi. \)

Mặt khác, \(\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin \varphi  = {S_{ABD}}\) .

Từ đó suy ra \(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 4{S_{ABD}}.\cot \varphi \).

Tương tự ta cũng có \(C{D^2} = B{C^2} + B{D^2} - 4{S_{DBC}}.\cot \varphi  ;\) \(  A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 4{S_{DCA}}.\cot \varphi. \)

Cộng theo vế rồi biến đổi, chú ý rằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ bằng diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\), ta được

\(\cot \varphi  = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\)

Theo bài 58 chương II, \(\cot A + \cot B + \cot C\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\)

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store