Bài 88 trang 51 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 88 trang 51 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho điểm \(D\) nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \(\widehat {DAB} = \widehat {DBC} = \widehat {DCA} = \varphi .\) Chứng minh rằng:

a) \({\sin ^3}\varphi  = \sin (A - \varphi )\)\(.\sin (B - \varphi ).\sin (C - \varphi ).\)

b) \(\cot \varphi  = \cot A + \cot B + \cot C.\)

Lời giải chi tiết

(h.75).

 

a) Theo định lí sin, trong tam giác \(ABD\) ta có

\(\dfrac{{DB}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{AD}}{{\sin (B - \varphi )}}\) ,     (1)

trong tam giác BCD có

\(\dfrac{{CD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{BD}}{{\sin (C - \varphi )}}\),      (2)

trong tam giác \(ACD\) có

\(\dfrac{{AD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{CD}}{{\sin (A - \varphi )}}\).

Từ đó ta có

\(\dfrac{{AD.BD.CD}}{{{{\sin }^3}\varphi }}\)

\(= \dfrac{{AD.BD.CD}}{{\sin (A - \varphi )\sin (B - \varphi )\sin (C - \varphi )}}\).

Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

b) Áp dụng định lí cosin vào tam giác \(DAB\) ta có

\(B{D^2}\)\( = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \varphi. \)

Mặt khác, \(\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin \varphi  = {S_{ABD}}\) .

Từ đó suy ra \(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 4{S_{ABD}}.\cot \varphi \).

Tương tự ta cũng có \(C{D^2} = B{C^2} + B{D^2} - 4{S_{DBC}}.\cot \varphi  ;\) \(  A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 4{S_{DCA}}.\cot \varphi. \)

Cộng theo vế rồi biến đổi, chú ý rằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ bằng diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\), ta được

\(\cot \varphi  = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\)

Theo bài 58 chương II, \(\cot A + \cot B + \cot C\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\)

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 năm học mới trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài