Bài 9 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao


Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) với ba đường trung tuyến \(AD, BE, CF\). Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF}  = 0\).

Lời giải chi tiết

Vì D là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AD}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )\)

Tương tự vì E, F là trung điểm của AC, AB nên:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {BE} = {1 \over 2}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) \cr 
& \overrightarrow {CF} = {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr} \)

Do đó  \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} \)

\(\eqalign{
& = {1 \over 2}\overrightarrow {BC} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {CA} (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) \cr&+ {1 \over 2}\overrightarrow {AB} (\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr 
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} \cr&+ \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} )\cr 
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} ) \cr&+ {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} ) \cr&+ {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} )\cr} \)

\(\begin{array}{l}
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} } \right)\\
+ \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right)\\
+ \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} } \right)\\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BB} \\
= 0 + 0 + 0\\
= 0
\end{array}\)

(điều phải chứng minh)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
2.8 trên 12 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài