Bài 9 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao


Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) với ba đường trung tuyến \(AD, BE, CF\). Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF}  = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào quy tắc trung điểm - vecto, thay các vecto AD, BE, CF bởi tổng 2 vecto khác chung gốc. 

Lời giải chi tiết

Vì D là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AD}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )\)

Tương tự vì E, F là trung điểm của AC, AB nên:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {BE} = {1 \over 2}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) \cr 
& \overrightarrow {CF} = {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr} \)

Do đó  \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} \)

\(\eqalign{
& = {1 \over 2}\overrightarrow {BC} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {CA} (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) \cr&+ {1 \over 2}\overrightarrow {AB} (\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr 
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} \cr&+ \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} )\cr 
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} ) \cr&+ {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} ) \cr&+ {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} )\cr} \)

\(\begin{array}{l}
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} } \right)\\
+ \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right)\\
+ \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} } \right)\\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BB} \\
= 0 + 0 + 0\\
= 0
\end{array}\)

(điều phải chứng minh)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
2.8 trên 12 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí