Bài 11 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao


Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M. Trên a có hai điểm A và B, trên b có hai điểm C và D

Đề bài

Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(M\). Trên \(a\) có hai điểm \(A\) và \(B\), trên \(b\) có hai điểm \(C\) và \(D\) đều khác \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \,\,\). Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải chi tiết

Gọi \((O)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(D'\) là giao điểm của \(b\) với \((O)\) ( \({D'} \ne C\)).

Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D}}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \cr 
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} (\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {M{D'}} ) = 0 \cr 
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\,\overrightarrow {{D'}D} = 0\,\,\,\, \cr} \)

\(\Rightarrow \,\overrightarrow {{D'}D}  = 0\)  (Do \(M, C, D, D'\) cùng thuộc đường thẳng b nên \(\overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {{D'}D}\) không thể vuông góc với nhau)

\( \Rightarrow D \equiv {D'}\).

Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 11 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí