Bài 11 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao


Đề bài

Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(M\). Trên \(a\) có hai điểm \(A\) và \(B\), trên \(b\) có hai điểm \(C\) và \(D\) đều khác \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \,\,\). Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải chi tiết

Gọi \((O)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(D'\) là giao điểm của \(b\) với \((O)\) ( \({D'} \ne C\)).

Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D}}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \cr 
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} (\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {M{D'}} ) = 0 \cr 
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\,\overrightarrow {{D'}D} = 0\,\,\,\, \cr} \)

\(\Rightarrow \,\overrightarrow {{D'}D}  = 0\)  (Do \(M, C, D, D'\) cùng thuộc đường thẳng b nên \(\overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {{D'}D}\) không thể vuông góc với nhau)

\( \Rightarrow D \equiv {D'}\).

Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 8 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài