Bài 76 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao


Giải phương trình:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải phương trình:

LG a

\({4^{ - {1 \over x}}} + {6^{ - {1 \over x}}} = {9^{ - {1 \over x}}}\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne 0\)

Chia hai vế phương trình cho \({4^{ - {1 \over x}}}\) ta được:

\(1 + \frac{{{6^{ - \frac{1}{x}}}}}{{{4^{ - \frac{1}{x}}}}} = \frac{{{9^{ - \frac{1}{x}}}}}{{{4^{ - \frac{1}{x}}}}}\) \( \Leftrightarrow 1 + {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}} = {\left( {{9 \over 4}} \right)^{ - {1 \over x}}}\)

Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}}\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có phương trình: 

\({t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr 
t = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\,\,\left(\text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\) 

\(\eqalign{
& t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \Rightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr&\Leftrightarrow - {1 \over x} = {\log _{{3 \over 2}}}{{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr 
&  \Leftrightarrow {1 \over x} = -{\log _{{3 \over 2}}}{\left( {{{1 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)}  \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{ - 1}}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow x = \frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ \frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}  \right\}\)

Cách khác:

Cách em cũng có thể chia cả hai vế của phương trình cho \({9^{ - \frac{1}{x}}} > 0\) ta được: \({\left( {\frac{4}{9}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} = 1\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} > 0\) ta được:

\({t^2} + t - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {TM} \right)\\t = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{1}{x}}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow  - \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} =  - {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}{\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{{{{\log }_{\frac{2}{3}}}\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\end{array}\)

LG b

\(\eqalign{
{4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0; \cr } \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\)

\({4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0 \)

\(\Leftrightarrow {4.4^{\ln x}} - {6^{\ln x}} - {18.9^{\ln x}} = 0\)

Chia hai vế của phương trình cho \({4^{\ln x}}\), ta được:

\(4 - {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} - 18{\left( {{9 \over 4}} \right)^{\ln x}} = 0\)

Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}}\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Ta có: 

\(4 - t - 18{t^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow 18{t^2} + t - 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr 
t = - {1 \over 2}\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - 2}}\)

\(\Leftrightarrow \ln x =  - 2 \Leftrightarrow x = {e^{ - 2}}\)

Vậy \(S = \left\{ {{e^{ - 2}}} \right\}\)

Chú ý:

Tương tự câu a, cũng có thể chia cả hai vế cho \(9^{\ln x}\).

LG c

\(\eqalign{
3\sqrt {{{\log }_2}x} - {\log _2}8x + 1 = 0; \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \({\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

\(3\sqrt {{{\log }_2}x} \, - {\log _2}8x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x}  - \left( {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x}  - \left( {3 + {{\log }_2}x} \right) + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} -{\log _2}x -2 = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {{{\log }_2}x} \,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {\log _2}x = {t^2}\)

Ta có phương trình: \(3t  - {t^2} -2 = 0\)                               

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {{{\log }_2}x} = 1 \hfill \cr 
\sqrt {{{\log }_2}x} = 2 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr 
{\log _2}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
x = {2^4} = 16 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {2;16} \right\}\)

LG d

\(\eqalign{
\log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) + {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = 8. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\). Với điều kiện ta có:

\(\eqalign{
& \log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) = {\left( {\log _{{1 \over 2}}4 + \log _{{1 \over 2}}x} \right)^2} \cr&= \left( { - 2 - {{\log }_2}x} \right)^2 = {\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2} \cr 
& {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = {\log _2}{x^2} - {\log _2}8 \cr&= 2{\log _2}x - 3 \cr} \)

Ta có phương trình: \({\left( {{{\log }_2}x + 2} \right)^2} + 2{\log _2}x - 3 = 8\)

Đặt \(t = {\log _2}x\) ta được: \({\left( {t + 2} \right)^2} + 2t - 3 = 8\)

\( \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 4 + 2t - 11 = 0 \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t = - 7 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr 
{\log _2}x = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
x = {2^{ - 7}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {2;{2^{ - 7}}} \right\}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài