Bài 72 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao


Giải các hệ phương trình

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các hệ phương trình

LG a

\(\left\{ \matrix{
x + y = 20 \hfill \cr 
{\log _4}x + {\log _4}y = 1 + {\log _4}9; \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0; y > 0\).

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 20\\
{\log _4}x + {\log _4}y = 1 + {\log _4}9
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 20\\
{\log _4}x + {\log _4}y = {\log _4}4 + {\log _4}9
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 20\\
{\log _4}\left( {xy} \right) = {\log _4}36
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 20\\
xy = 36
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 20 - x\\
x\left( {20 - x} \right) = 36
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 20 - x\\
- {x^2} + 20x - 36 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 20 - x\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 18
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2,y = 18\\
x = 18,y = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\left( {2;18} \right);\,\left( {18;2} \right)} \right\}\)

Chú ý:

Ở bước giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 20\\
xy = 36
\end{array} \right.\) cùng có thể giải nhanh như sau:

x,y chính là nghiệm của phương trình 

\({X^2} - 20X + 36 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = 2\\
X = 18
\end{array} \right.\)

Vậy (x;y)\(\in\){(2;18),(18;2)}

LG b

\(\left\{ \matrix{
x + y = 1 \hfill \cr 
{4^{ - 2x}} + {4^{ - 2y}} = 0,5 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Từ phương trình thứ nhất suy ra \(y = 1 – x\), thay vào phương trình thứ hai ta được: 
\({4^{ - 2x}} + {4^{ - 2\left( {1 - x} \right)}} = 0,5 \)

\(\Leftrightarrow \,\,{4^{ - 2x}} + {4^{ - 2 + 2x}} = {1 \over 2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{4^{2x}}}} + \frac{{{4^{2x}}}}{{16}} = \frac{1}{2}\)

Đặt \(t = {4^{2x\,}}\,\left( {t > 0} \right)\) ta được:

\(\eqalign{
& {1 \over t} + {t \over {16}} = {1 \over 2} \cr&\Leftrightarrow 16 + {t^2} = 8t \cr&\Leftrightarrow {\left( {t - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 4 \cr 
& \Rightarrow {4^{2x}} = 4 \cr&\Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = {1 \over 2} \cr} \)

Với \(x = {1 \over 2}\) ta có \(y = 1 - x = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\)
Vậy \(S = \left\{ {\left( {{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)} \right\}\)

Cách 2.

x+y=1\(\Leftrightarrow \) 4x+y=4 <=> 4x.4y=4

Đặt u=4x,v=4y ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}uv = 4\\\frac{1}{{{u^2}}} + \frac{1}{{{v^2}}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\frac{1}{{{u^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{4}{u}} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\frac{1}{{{u^2}}} + \frac{{{u^2}}}{{16}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\frac{{16 + {u^4}}}{{16{u^2}}} = \frac{{8{u^2}}}{{16{u^2}}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\{u^4} - 8{u^2} + 16 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\{u^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\left[ \begin{array}{l}u = 2\left( {TM} \right)\\u =  - 2\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{4^x} = 2\\{4^y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{2x}} = 2\\{2^{2y}} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 1\\2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Tập nghiệm của hệ phương trình là \(S = \left\{ {\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)} \right\}\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 4 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài