Bài 75 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao


Giải các phương trình

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

\(\eqalign{
{\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _3}\left( {{3^{x + 1}} - 3} \right) = 12; \cr} \)   

Lời giải chi tiết:

Điều kiện:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{3^x} - 1 > 0\\
{3^{x + 1}} - 3 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{3^x} - 1 > 0\\
{3.3^x} - 3 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{3^x} - 1 > 0\\
3\left( {{3^x} - 1} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow {3^x} - 1 > 0\\
\Leftrightarrow {3^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0
\end{array}\)

Ta có: \(lo{g_3}\left( {{3^x} - 1} \right).lo{g_3}\left( {{3^{x + 1}} - 3} \right) = 12\) 

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^x} - 1} \right).lo{g_3}[3\left( {{3^x} - 1} \right)] = 12 \cr 
& \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^x} - 1} \right)\left[ {1 + lo{g_3}\left( {{3^x} - 1} \right)} \right] = 12 \cr} \)

\( \Leftrightarrow \log _3^2\left( {{3^x} - 1} \right) + lo{g_3}\left( {{3^x} - 1} \right) - 12 = 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
lo{g_3}\left( {{3^x} - 1} \right) = - 4 \hfill \cr 
lo{g_3}\left( {{3^x} - 1} \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{3^x} - 1 = 3^{-4}={1 \over {81}} \hfill \cr 
{3^x} - 1 = {3^3} = 27 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{3^x} = {{82} \over {81}} \hfill \cr 
{3^x} = 28 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\log _3}{{82} \over {81}} \hfill \cr 
x = {\log _3}28 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{{\log }_3}28;{\log _3}{{82} \over {81}} } \right\}\)

LG b

\(\eqalign{
{\log _{x - 1}}4 = 1 + {\log _2}\left( {x - 1} \right); \cr} \)    

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(0 < x - 1 \ne 1 \Leftrightarrow 1 < x \ne 2\)

Ta có: \({\log _{x - 1}}4 = {1 \over {{{\log }_4}\left( {x - 1} \right)}} \)

\( = \frac{1}{{{{\log }_{{2^2}}}\left( {x - 1} \right)}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}{{\log }_2}\left( {x - 1} \right)}}\)

\(= {2 \over {{{\log }_2}\left( {x - 1} \right)}}\).

Đặt \(t = {\log _2}\left( {x - 1} \right)\)

Ta có phương trình:

\(\eqalign{
& {2 \over t} = 1 + t \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1 \hfill \cr 
{\log _2}\left( {x - 1} \right) = - 2 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\x - 1 = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 3 \hfill \cr x = {5 \over 4} \hfill \cr} \right. (TM)\cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {3;{5 \over 4}} \right\}\)

LG c

\(\eqalign{
5\sqrt {{{\log }_2}\left( { - x} \right)} = {\log _2}\sqrt {{x^2}} ; \cr} \)   

Lời giải chi tiết:

Điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}
- x > 0\\
{\log _2}\left( { - x} \right) \ge 0\\
\sqrt {{x^2}} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
- x \ge {2^0} = 1\\
x \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
x \le - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le - 1\)

\(5\sqrt {{{\log }_2}\left( { - x} \right)}  = {\log _2}\sqrt {{x^2}} \)

\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{{\log }_2}\left( { - x} \right)}  = {\log _2}\left| x \right|\)

\(\Leftrightarrow 5\sqrt {{{\log }_2}\left( { - x} \right)}  = {\log _2}\left( { - x} \right)\) (vì \(x \le  - 1 \Rightarrow \left| x \right| =  - x\))

Đặt \(t = {\log _2}\left( { - x} \right) \ge 0\) ta được:

\(\eqalign{
& 5\sqrt t  = t \Leftrightarrow 25t = {t^2} \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr 
t = 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}\left( { - x} \right) = 0 \hfill \cr 
lo{g_2}\left( { - x} \right) = 25 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = - {2^{25}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ { - 1; - {2^{25}}} \right\}\)

LG d

\(\eqalign{
{3^{{{\log }_4} x+ {1 \over 2}}} + \,{3^{{{\log }_4} x- {1 \over 2}}} = \sqrt x . \cr} \)    

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\)

Ta có: \(\sqrt x  = \sqrt {{4^{{{\log }_4}x}}}  = {2^{{{\log }_4}x}}\)

Do đó \({3^{{1 \over 2} + {{\log }_4}x}} + {3^{{{\log }_4}x - {1 \over 2}}} = \sqrt x \)

\(\Leftrightarrow {3^{\frac{1}{2}}}{.3^{{{\log }_4}x}} + {3^{{{\log }_4}x}}{.3^{ - \frac{1}{2}}} = {2^{{{\log }_4}x}}\)

\(\Leftrightarrow \left( {\sqrt 3  + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right){3^{{{\log }_4}x}} = {2^{{{\log }_4}x}}\) 

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {4 \over {\sqrt 3 }} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{{{\log }_4}x}} \cr&\Leftrightarrow {\log _4}x = {\log _{{2 \over 3}}}{4 \over {\sqrt 3 }} \cr 
& \Leftrightarrow x = {4^{{{\log }_{{2 \over 3}}}{4 \over {\sqrt 3 }}}} \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{4^{{{\log }_{{2 \over 3}}}{4 \over {\sqrt 3 }}}}} \right\}\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 4 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài