Bài 73 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

$\left\{ \matrix{ {3^{ - x}}{.2^y} = 1152 \hfill \cr  {\log _{\sqrt 5 }}\left( {x + y} \right) = 2; \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x + y > 0$.
Từ phương trình thứ hai suy ra: $x + y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5 \Rightarrow y = 5 - x$ thay vào phương trình thứ nhất ta được:
${3^{ - x}}{.2^{ {5 - x}}} = 1152$

$\Leftrightarrow {3^{ - x}}{.2^{ - x}}{.2^5} = 1152$

$\Leftrightarrow {6^{ - x}}.32 = 1152$

$\Leftrightarrow {6^{ - x}} = 36 \Leftrightarrow x =  - 2$
Với $x = -2$ ta có $y = 5 – (-2) =7$. 
Vậy $S = \left\{ {\left( { - 2;7} \right)} \right\}$

LG b

$\left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 2 \hfill \cr  {\log _2}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện

$\left\{ \matrix{ x + y > 0 \hfill \cr  x - y > 0 \hfill \cr} \right.$

Khi đó,

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = 2\\ {\log _2}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {x - y} \right) = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = {\log _2}2\\ {\log _2}\left( {x + y} \right) - \frac{{{{\log }_2}\left( {x - y} \right)}}{{{{\log }_2}3}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _2}\left[ {\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)} \right] = 1\\ {\log _2}\left( {x + y} \right) - \frac{1}{{{{\log }_2}3}}{\log _2}\left( {x - y} \right) = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + y} \right) + {\log _2}\left( {x - y} \right) = 1\\ {\log _2}\left( {x + y} \right) - {\log _3}2{\log _2}\left( {x - y} \right) = 1 \end{array} \right. \end{array}$

Đặt u = ${\log _2}\left( {x + y} \right)$ và v = ${\log _2}\left( {x - y} \right)$ ta được hệ

$\left\{ \matrix{ u + v = 1 \hfill \cr  u - v.{\log _3}2 = 1 \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ u = 1 \hfill \cr  v = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \matrix{ {\log _2}\left( {x + y} \right) = 1 \hfill \cr  {\log _2}\left( {x - y} \right) = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + y = 2 \hfill \cr  x - y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 2} \hfill \cr  y = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.$

Vậy $S = \left\{ {\left( {{3 \over 2};{1 \over 2}} \right)} \right\}$

 Loigiaihay.com