Bài 7 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Chứng minh

Đề bài

Chứng minh \(\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }  = 2\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(x = \root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } \)

Ta có:

\({x^3} = \left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right)^3\)

\( = 7 + 5\sqrt 2  + 7 - 5\sqrt 2  \) \(+ 3\root 3 \of {{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}} .\root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }  \) \(+ 3\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } .\root 3 \of {{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}} \)

\(= 14 + 3\sqrt[3]{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}}.\)\(.\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right)\)

\( = 14 - 3\left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right) \)

\(= 14 - 3x\).

Từ đó suy ra: \({x^3} + 3x - 14 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 7} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

(vì \({x^2} + 2x + 7 > 0\))

Vậy \(\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }  = 2\)

Cách khác:

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài