Bài 6 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho khối chóp S.ABC cố đường cao S/4 bằng a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. b) Chứng minh rằng sc vuông góc với mp(AB'C'). c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho khối chóp \(S.ABC\) có đường cao \(SA\) bằng \(a\), đáy là tam giác vuông cân có \(AB = BC = a\). Gọi \(B'\) là trung điểm của \(SB, C'\) là chân đường cao hạ từ \(A\) của tam giác \(SAC\).

LG a

Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông cân tại B nên \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SA = {1 \over 3}.\frac{{{a^2}}}{2} .a = {{{a^3}} \over 6}\)

LG b

Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mp \((AB'C')\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(BC \bot BA\) và \(BC \bot SA\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Mà \(AB' \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(AB' \bot BC\)

Ta có \(AB' \bot SB\) và \(AB' \bot BC\) nên \(AB' \bot \left( {SBC} \right)\)

Suy ra \(AB' \bot SC\).

Theo giả thiết \(SC \bot AC'\), \(SC \bot AB'\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow SC \bot \left( {AB'C'} \right)\)

LG c

Tính thể tích khối chóp \(S.AB’C’\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(AC’\) là đường cao trong tam giác vuông \(SAC\) nên \({{SC'} \over {SC}} = {{SC'.SC} \over {S{C^2}}} = {{S{A^2}} \over {S{C^2}}} = {{{a^2}} \over {3{a^2}}} = {1 \over 3}\)

Từ đó suy ra \({{{V_{S.AB'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SC'} \over {SC}} = {1 \over 2}.{1 \over 3} = {1 \over 6}\)

Vì \({V_{S.ABC}} = {{{a^3}} \over 6}\) nên \({V_{S.AB'C'}} = {{{a^3}} \over {36}}\).

Cách khác:

Vì SC'AB'C' nên:

(trung tuyến trong tam giác vuông)

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được:

Nhận xét:

Ta có: AB'⊥(SBC) nên có thể lấy V = (1/3)AB'.SΔSB'C'=(1/6). AB'.B' C'.SC' rồi tính toán.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 3 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài