Bài 5 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao


Cho khối lăng trụ đểu ABC.A'B'C’ và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (B'CM) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Đề bài

Cho khối lăng trụ đểu \(ABC.A'B'C’\) và \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Mặt phẳng \((B'C'M)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(B’M\) với \(AA’\); \(N\) là giao điểm của \(IC’\) với \(AC\). Khi đó \(A\) là trung điểm của \(A’I\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\).

Đặt \({S_{ABC}} = S\) và \(AA' = h\)

Thiết diện của mp \((B’C’M)\) với khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là hình thang cân \(MNC’B’\). Mp \((B’C’M)\) chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa cạnh \(AA’\) có thể tích là \({V_1}\), phần còn lại có thể tích là \({V_2}\). Khi đó ta có:

\(\eqalign{
& {V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}} \cr &= {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}} \cr & = \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.A'I - \frac{1}{3}{S_{AMN}}.AI\cr &= {1 \over 3}S.2h - {1 \over 3}.{S \over 4}h \cr 
& = {2 \over 3}Sh - {1 \over {12}}Sh = {7 \over {12}}Sh \cr &= {7 \over {12}}\left( {{V_1} + {V_2}} \right) \cr 
& \Rightarrow 12{V_1} = 7{V_1} + 7{V_2}\Leftrightarrow 5{V_1} = 7{V_2}\cr & \Rightarrow {{{V_1}} \over {{V_2}}} = {7 \over 5} \cr} \)

Cách trình bày khác:

Ta có: \(\frac{{IA}}{{IA'}} = \frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{IN}}{{IC'}} = \frac{{AM}}{{A'B'}} = \frac{1}{2}\)

\({V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}}\) \( = {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}}\)

\({V_{I.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.A'I\) \( = \frac{1}{3}S.2h = \frac{2}{3}Sh = \frac{2}{3}V\)

\(\frac{{{V_{I.AMN}}}}{{{V_{I.A'B'C'}}}} = \frac{{IA}}{{IA'}}.\frac{{IM}}{{IB'}}.\frac{{IN}}{{IC'}}\) \( = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)

\( \Rightarrow {V_{I.AMN}} = \frac{1}{8}{V_{I.A'B'C'}}\) \( = \frac{1}{8}.\frac{2}{3}V = \frac{1}{{12}}V\)

\( \Rightarrow {V_1} = \frac{2}{3}V - \frac{1}{{12}}V = \frac{7}{{12}}V\)

\( \Rightarrow {V_2} = V - {V_1}\) \( = V - \frac{7}{{12}}V = \frac{5}{{12}}V\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{{12}}V:\frac{5}{{12}}V = \frac{7}{5}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài