Bài 5 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao

Cho khối lăng trụ đểu ABC.A'B'C’ và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (B'CM) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Đề bài

Cho khối lăng trụ đểu $ABC.A'B'C’$ và $M$ là trung điểm của cạnh $AB$ . Mặt phẳng $(B'C'M)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $B’M$ với $AA’$ ; $N$ là giao điểm của $IC’$ với $AC$ . Khi đó $A$ là trung điểm của $A’I$ và $N$ là trung điểm của $AC$ .

Đặt ${S_{ABC}} = S$ và $AA' = h$

Thiết diện của mp $(B’C’M)$ với khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ là hình thang cân $MNC’B’$ . Mp $(B’C’M)$ chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa cạnh $AA’$ có thể tích là ${V_1}$ , phần còn lại có thể tích là ${V_2}$ . Khi đó ta có:

$\eqalign{ & {V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}} \cr &= {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}} \cr & = \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.A'I - \frac{1}{3}{S_{AMN}}.AI\cr &= {1 \over 3}S.2h - {1 \over 3}.{S \over 4}h \cr & = {2 \over 3}Sh - {1 \over {12}}Sh = {7 \over {12}}Sh \cr &= {7 \over {12}}\left( {{V_1} + {V_2}} \right) \cr & \Rightarrow 12{V_1} = 7{V_1} + 7{V_2}\Leftrightarrow 5{V_1} = 7{V_2}\cr & \Rightarrow {{{V_1}} \over {{V_2}}} = {7 \over 5} \cr}$

Cách trình bày khác:

Ta có: $\frac{{IA}}{{IA'}} = \frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{IN}}{{IC'}} = \frac{{AM}}{{A'B'}} = \frac{1}{2}$

${V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}}$ $= {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}}$

${V_{I.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.A'I$ $= \frac{1}{3}S.2h = \frac{2}{3}Sh = \frac{2}{3}V$

$\frac{{{V_{I.AMN}}}}{{{V_{I.A'B'C'}}}} = \frac{{IA}}{{IA'}}.\frac{{IM}}{{IB'}}.\frac{{IN}}{{IC'}}$ $= \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

$\Rightarrow {V_{I.AMN}} = \frac{1}{8}{V_{I.A'B'C'}}$ $= \frac{1}{8}.\frac{2}{3}V = \frac{1}{{12}}V$

$\Rightarrow {V_1} = \frac{2}{3}V - \frac{1}{{12}}V = \frac{7}{{12}}V$

$\Rightarrow {V_2} = V - {V_1}$ $= V - \frac{7}{{12}}V = \frac{5}{{12}}V$

$\Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{{12}}V:\frac{5}{{12}}V = \frac{7}{5}$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.3 trên 3 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 6 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho khối chóp S.ABC cố đường cao S/4 bằng a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. b) Chứng minh rằng sc vuông góc với mp(AB'C'). c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’.
Bài 4 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho khối làng trụ đứng ABC.A’B'C’ có diện tích đáy bằng S và AA' = h. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA', BB’, CC'
Bài 3 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao
Cho khôi tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện. a) Kể tên bốn khối tứ diện đó. b) Chứng tỏ rằng bốn khôi tứ diện đó có thể tích bằng nhau. c) Chứng tỏ rằng nếu ABCD là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trên bằng nhau.
Bài 2 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng sáu trung điểm của sáu cạnh AB, BC, CC', C'D’, D'A' và A'A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Bài 1 trang 30 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B' và D' lần lượt là trung điểm của AB và AD. Mặt phắng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần đó.
Câu hỏi 6 trang 30 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 6 trang 30 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Nếu tỉ số các cạnh tương ứng của hai tứ diện đồng dạng bằng k thì tỉ số thể tích của hai khối tứ diện ấy bằng bao nhiêu?
Câu hỏi 5 trang 30 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 5 trang 30 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Hình tứ diện đều, hình lập phương, hình bát diện đều có những mặt phẳng đối xứng nào?
Câu hỏi 4 trang 30 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 4 trang 30 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Nếu mỗi kích thước hình hộp chữ nhật được tăng lên k lần thì thể tích của khối đó tăng lên bao nhiêu lần.
Câu hỏi 3 trang 30 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 3 trang 30 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Nếu biết thể tích của một khối chóp và diện tích đáy của nó thì có thể biết được chiều cao của khối chóp đó hay không.
Câu hỏi 2 trang 30 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 2 trang 30 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Những khối đa diện đều nào có mặt là tam giác đều? Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của bao nhiêu mặt?
Câu hỏi 1 trang 30 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 1 trang 30 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Khối lăng trụ n – giác có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh và bao nhiêu mặt? Khối chóp n – giác có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh và bao nhêu mặt?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.