Bài 4 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu

Cho khối làng trụ đứng ABC.A’B'C’ có diện tích đáy bằng S và AA' = h. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA', BB’, CC'

Bài 4. Cho khối làng trụ đứng \(ABC.A’B'C’\) có diện tích đáy bằng \(S\) và \(AA' = h\). Một mặt phẳng \((P)\) cắt các cạnh \(AA', BB’, CC'\) lần lượt tại \({A_1},{B_1}\) và . Biết \(A{A_1} = a,B{B_1} = b,CC' = c\).

a) Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng \((P)\).

b) Với điều kiện nào của \(a, b, c\) thì thể tích hai phần đó bằng nhau ?

Giải

a) Kẻ đường cao \(AI\) của tam giác \(ABC\) thì \(AI \bot \left( {BCC'B'} \right)\) \(\Rightarrow AI = d\left( {{A_1};\left( {BCC'B'} \right)} \right)\). Ta có:

\(\eqalign{
& {V_{_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}}} = {V_{{A_1}.ABC}} + {V_{{A_1}BC{C_1}{B_1}}} \cr
& = {1 \over 3}{\rm{aS + }}{1 \over 3}{S_{BC{C_1}{B_1}}}.AI \cr
& = {1 \over 3}aS + {1 \over 3}.{1 \over 2}\left( {b + c} \right).BC.AI \cr
& = {1 \over 3}aS + {1 \over 3}\left( {b + c} \right)S = {1 \over 3}\left( {a + b + c} \right)S \cr
& {V_{{A_1}{B_1}{C_1}A'B'C'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} \cr
& = Sh - {1 \over 3}\left( {a + b + c} \right)S = {1 \over 3}\left[ {\left( {h - a} \right) + \left( {h - c} \right) + \left( {h - c} \right)} \right]S \cr} \)

b) \({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = {V_{{A_1}{B_1}{C_1}.A'B'C'}} \Leftrightarrow {1 \over 3}\left( {a + b + a} \right)S = {1 \over 2}Sh \Leftrightarrow 3h = 2\left( {a + b + c} \right)\)

loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Ôn tập chương I - Khối đa diện và thể tích của chúng

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu