Bài 2 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao


Đề bài

Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Chứng minh rằng sáu trung điểm của sáu cạnh \(AB, BC, CC', C'D’, D'A'\) và \(A'A\) nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Lời giải chi tiết


Gọi \(M, N, I, J, K, E\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CC’, C’D’, D’A’, A’A\) của khối hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) tâm \(O\).
Ta có \(O\) là tâm hình bình hành \(ABC’D’\) nên \(M, O, J\) thẳng hàng (\(O\) là trung điểm của \(MJ\)). Mặt khác ba đường thẳng \(MN, EI\) và \(KJ\) đôi một song song với nhau (vì cung song song với \(AC\)) nên chúng đồng phẳng.
Vậy \(6\) điểm \(M, N, I, J, K, E\) cùng nằm trên một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).
Mp \(\left( \alpha  \right)\) chia khối hộp thành hai khối đa diện khối thứ nhất có các đỉnh \(M, N, I, J, K, E, A, C, D, D’\) , khối thứ hai có các đỉnh \(M, N, I, J, K, E, C’, A’, B, B’\).
Phép đối xứng qua điểm \(O\) biến tập hợp đỉnh của khối đa diện thứ nhất thành tập hợp đỉnh của khối đa diện thứ hai. Suy ra hai khối đa diện đó bằng nhau và do đó có thể tích bằng nhau.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 4 phiếu
  • Bài 3 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao

    Cho khôi tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện. a) Kể tên bốn khối tứ diện đó. b) Chứng tỏ rằng bốn khôi tứ diện đó có thể tích bằng nhau. c) Chứng tỏ rằng nếu ABCD là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trên bằng nhau.

  • Bài 4 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho khối làng trụ đứng ABC.A’B'C’ có diện tích đáy bằng S và AA' = h. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA', BB’, CC'

  • Bài 5 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao

    Cho khối lăng trụ đểu ABC.A'B'C’ và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (B'CM) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

  • Bài 6 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho khối chóp S.ABC cố đường cao S/4 bằng a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. b) Chứng minh rằng sc vuông góc với mp(AB'C'). c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’.

  • Bài 1 trang 30 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B' và D' lần lượt là trung điểm của AB và AD. Mặt phắng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần đó.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.