Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng d..

Bài 5 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao


Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên AC sao cho

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên AC sao cho \(AM = {1 \over 4}AC.\)

LG a

Tính các cạnh của tam giác BMN

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì M là trung điểm AO.

Tam giác ABC vuông tại B nên:

\(\begin{array}{l}
A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\\
\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \\
= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2
\end{array}\)

Do đó \(OA = OB = OC = OD \)\(= \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow OM = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

N là trung điểm CD nên \(NC = \frac{1}{2}DC = \frac{a}{2}\).

Ta có:

\(\eqalign{
& B{N^2} = B{C^2} + N{C^2} \cr 
& = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4}\cr&\Rightarrow \,\,BN = {{a\sqrt 5 } \over 2} \cr 
& B{M^2} = B{O^2} + O{M^2} \cr 
& = {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 4}} \right)^2} = {{5{a^2}} \over 8} \cr 
& \Rightarrow \,\,BM = {{a\sqrt {10} } \over 4} \cr} \)

Kẻ MP // AD ta có

\(\frac{{MP}}{{AD}} = \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{3}{4} \)\(\Rightarrow MP = \frac{3}{4}AD = \frac{{3a}}{4}\)

\(\frac{{CP}}{{CD}} = \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{3}{4} \)\(\Rightarrow CP = \frac{3}{4}CD = \frac{{3a}}{4} \)\(\Rightarrow PD = CD - CP = a - \frac{{3a}}{4} = \frac{a}{4}\)

\( \Rightarrow NP = DN - PD = \frac{a}{2} - \frac{a}{4} = \frac{a}{4}\)

Tam giác MNP vuông tại P nên:

\(M{N^2} = M{P^2} + P{N^2} \)\(= {\left( {{{3a} \over 4}} \right)^2} + {\left( {{a \over 4}} \right)^2} = {{10{a^2}} \over {16}}\,\,\)

\(\Rightarrow \,\,MN = {{a\sqrt {10} } \over 4}\)

LG b

Có nhận xét gì về tam giác BMN ? Tính diện tích tam giác đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(MB = MN\) nên tam giác BMN cân tại M.

Lại có:

\(B{M^2} + M{N^2}\)

\(= {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} \)

\(= \frac{{5{a^2}}}{4} \)

\(= B{N^2}\)

nên tam giác BMN vuông tại M.

Vậy tam giác BMN vuông cân tại M.

Diện tích tam giác BMN là

\({S_{BMN}} = {1 \over 2}MB.MN\)\(  = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt {10} }}{4}.\frac{{a\sqrt {10} }}{4}= {{5{a^2}} \over {16}}\)

LG c

Gọi I là giao điểm của  BN và AC. Tính CI.

Lời giải chi tiết:

Tam giác DCB có hai đường trung tuyến CO và BN cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác BCD

Do đó, \(IC = {2 \over 3}IO = {2 \over 3}.a.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 3}\).

LG d

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.

Lời giải chi tiết:

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.

Áp dụng định lí sin ta có:

\({{BN} \over {\sin \widehat {BDN}}} = 2R\)

\(\Rightarrow \,\,R = \,{{BN} \over {2\sin {{45}^0}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}= {{a\sqrt {10} } \over 4}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store